CHAPITRE Xir. — THÉORIE DBS RACINES DE l' UNITÉ

n'a qu'une seule racine. Déterminons en eOet uil nombre a^ tel

que

a^a'^^x (modn).

La congruence donnée peut s'écrire

et sera vérifiée si Ton donne à a; la valeur

a == — aa'o (mod/i).

Supposons le théorème vrai pour une congruence de degré m — I , et démontrons qu'il est vrai pour une congruence d'ordre m. En appelant a un nombre arbitraire, posons (§4)

fi {x) est une fonction entière de degré m — i ; si a est un nombre

entier, tous ses coefficients sont entiers.

Si donc

/(a)^o, on conclut de (3) que

(4) /(a:) = (j7 — a)/i(ar) (mod /i).

Chaque racine ^ de la congruence (2) satisfait donc à la condition

(P-a)/iO)E^o (mod/i).

Donc, l'un ou l'autre des facteurs p — a ou /, (P) est divisible par n.

Par hypothèse, il existe au plus m — i valeurs de p, telles queyi(P) soit divisible par n. Si donc la congruence (4) admet une m*^*"* racine, celle-ci est nécessairement égale à a.

On en conclut que, lorsqu'une congruence de degré m admet plus de m racines, elle est identique, c'est-à-dire que tous ses coefficients sont divisibles par n.

On voit que ce théorème est tout à fait analogue à celui qui dit

qu'une équation de degré m ne peut avoir plus de m racines;

mais on ne peut démontrer que toute congruence a effectivement

m racines; elle peut en avoir moins de m, et même n'en avoir

aucune. Il faut donc remarquer d'une façon particulière une congruence qui admet autant de racines quMl j a d'unités dans son degré. C'est celle qui se présente dans le théorème de Fermât.