II. Les congruences

(5) ar" — x^Oj ic'*-i — iso (mod/i)

ont autant de racines quHl y a d'unités dans leur degré, lorsque n est un nombre premier.

Les deux propositions ne sont pas essentiellement distinctes: car la première des congruences (5) admet toutes les racines de la seconde et de plus la racine zéro, qui ne vérifie pas la seconde. Inversement, la seconde admet toutes les racines de la première, sauf la racine zéro.

D'ailleurs, par rapport au module /i, il n'y a que n nombres différents; il suffit donc de démontrer que tout nombre entier a vérifie la congruence

(6) a» = a (mod n).

Elle est vérifiée pour a = o et a = i . Supposons qu'elle le soil pour tous les nombres jusqu'à a, et démontrons qu'on a aussi

(7) (a -i- !)'» = (« -m) (mod/i).

Cela résulte immédiatement de la formule du binôme; tous les coefficients binomiaux

sont divisibles par n, à l'exception du premier et du dernier, qui sont égaux à l'unité; leurs numérateurs, en effet, sont divisibles par n, tandis que les dénominateurs ne le sont pas. On a donc

bien

(a -f- 1)" = a'»-!-!^ a-+-i (mod n)

comme conséquence de la formule (6).

La différence

x{x — i) , ,,{x — n -h i) — ar" -t-o?

est une fonction de x, de degré n — i au plus. Elle est congrue à