III. a étant un diviseur de n — i , la congruence

(9) ar««i (mod/i)

admet a racines distinctes.

Soit, en effet, n — i = a6. On pourra écrire

Chaque racine du premier membre est nécessairement racine deTun ou Tautre des facteurs du second membre. Si la congruence

avait moins de a racines, le second facteur en aurait donc plus

quUl n^y a d\inilés dans son degré, ce qui est impossible d'après

le théorème I.

Soit a un nombre non divisible par /i, et a le plus petit entier

positif, tel que

a* = I (mod/i);

soit h un autre entier positif, tel que

a'*^i (mod/i);

5oo LIVRE II. — LES RACINES.

a est nécessairement un diviseur de A; en particulier, a est aussi un diviseur de /ï — i .

Posons, en effet, h = qa-^- a'j q étant un nombre entier et a' étant plus petit que a; il en résulte

il faut donc que a' soit nul, puisque, par hypothèse, a est le plus petit exposant positif vérifiant cette congruence.

On appelle racine primitive d^ ordre a du nombre premier n toute racine a de la congruence

(9) ir<* = I (mod/i),

qui n^est pa^ racine d^une congruence analogue de degré inférieur à a\ ce nombre a est aussi une racine primitive de la congruence (9) ; toute racine primitive g de la congruence

(8) a?"-» = I (mod/i)

est dite, pour abréger, une racine primitive du nom,bre premier n.

Nous allons démontrer que tout nombre premier n admet des racines primitives, et déterminer leur nombre; le procédé sera analogue à celui employé pour les racines de l'unité.

Soient a et 6 deux diviseurs de /i — i , premiers entre eux ; a une racine primitive d'ordre a et p une racine primitive d'ordre b du nombre /i. Désignons par c le produit ab\ le nombre y = a^S est une racine primitive d'ordre c\ réciproquement, toute racine primitive c peut se mettre sous la forme a^.

En effet, on a d'abord

(a3 f = a<?. p<? = I ( mod n) ; en second lieu, si l'on a

(apy» = a^*P'» = i (mod /i),

on a aussi

aA6p/i6^j (mod 71);

donc

a'** = I (mod Al);

hb est donc divisible par a, donc aussi A; on prouve de même