CHAPITRE XII. — THÉORIE DES RACJNES DE l'lNITË. 5oI

que h est divisible par b\ 11 l'est donc par le produit ab = c. Il en résulte que a^ est une racine primitive de n d'ordre c.

Réciproquement, soit y une racine primitive d'ordre c. Déterminons un entier x par la condition

bx^i (moda);

un entier j^ par la condition

Il en résulte

r= '- (modb).

ay^(\ — bx) (moda6).

ou

(lo) ay-\-bx~^\ (mode).

Donc

Y = va^^Y*^ = flj^ (mod/i;

D'ailleurs, x est premier avec a eX, y premier avec 6. Si l'on pose Y*"^ = a, le nombre a^ = y****^ ne pourra être congru à i que si h est divisible par a\ par suite, a est racine primitive d'ordre a ; on verrait de même que y''^* = P est racine primitive d'ordre b.

Reste à faire voir que tous les produits tels que afi sont différents, c'est-à-dire, en admettant que a et a', ^ et ^' sont des racines primitives d'ordres respectifs a et 6, que la congruence

(il) ap = a'P' (mod/i)

ne peut être vérifiée que si a ^ a', ^ ^: ^ (mod /i). Cela résulte

de Téquation (lo); si, en effet, on élève les deux membres de (i i)

à la puissance bx^ nombre congru à i par rapport au module a,

il vient

a :r= a', et, par suite aussi, p :e3 ^ ,

Si donc on désigne par ç(«) le nombre des racines primitives

d'ordre a, il résulte de ce qu'on vient de dire que

Il reste à déterminer (p(/?/?^),/? étant un nombre premier et /y? i une puissance de p qui divise n — i .

Soit a une racine non primitive de degré /?'^; posons/?| =/?^"*;

5o4 LiriB II. — LES RAQNBS.

nombre donné; la seconde s'obtienl par renversement de la première. Il faul observer que le module relatîfaux indices est n — i; celui relatif aux nombres est n ; deux nombres congrus sont considérés comme équivalents. C'est ainsi qu^on obtient, pour /i = i3 et ^ = 2, les Tables

Dans le Canon arithmeticus de Jacobi (iSSp) on trouve les Tables d'indices pour tous les nombres premiers inférieurs à 1000. Une Table moins étendue, calculée par Ostrogradskj, se trouve dans la Théorie des congruences de TschebyschefT (traduit en allemand par Schapira; Berlin, 1889).

Remarquons encore que l'indice de i est toujours nul, et que

l'indice de — i (ou de /i — 1) est toujours égal à En effet,

( — i)* a l'indice o ou /i — 1 ; puisque — i n'a pas l'indice o et que le double de son indice doit être égal à o ou à /i — i : cet indice

est donc égal à Ces résultats s'expriment par les formules

(ari) indi = o, ind(— 1)= — ^ — (mod/i — i).

Si n est un nombre premier, et m un entier non divisible par n — I, il existe toujours au moins un nombre /r, non divisible par n, tel que k^ ne soit pas congru à 1. Soit, en effet, m! le reste de la division de /n par n — i; on aura â:'" ^ A:'"' (mod n); la congruence x^' ^ i a donc moins de /i — i racines. Il existe donc un nombre A", non divisible par /2, qui n'est pas racine de celle congruence. D'ailleurs (§ 123) les nombres kx et x prennent simultanément des valeurs constituant un système complet de restes; on a donc

Sic'" = I.{kx)"^ (modn),

OU

( A:'« — I ) 2 37"* = o ( mod n ).