CHAPITRE XII. — THÉORIB DES RACINES DE l'uNITÉ. 5o
L^exposant m notant pas divisible par n — i , il en résulte
(22) 2a?"»^o (mod/i) [m non congru à o (mod/i — i)];
les valeurs de x sont, par hypothèse, celles d'un système complet de restes.
Si au contraire m est divisible par n — i, et si x n'est pas divisible par /i, on a x^ ^ i et, par conséquent,
(23) 237'"=^ — I (modn) [ni^o (mod/i — i)].
Ces théorèmes peuvent aussi se démontrer en mettant x sous la forme d'une puissance d'une racine primitive g^ on peut poursuivre ainsi Tanalogie entre les restes des puissances et les racines de l'unité.
§ 144. — Multiplication et division des fonctions trigonométriques.
Nous avons déjà appelé l'attention sur la relation existant entre la théorie des racines de l'unité et la division du cercle en parties égales. La généralisation de ce problème conduit à la division en parties égales d'un angle quelconque. On est ainsi conduit à des équations algébriques; nous avons utilisé celle relative à la trisection pour la résolution de l'équation du troisième degré
Établissons d'abord les formules générales.
D'après la formule de Moivre, n étant un entier arbitraire et cp un angle quelconque, on a
(i) cos/i(p -t- esinnçp = (coscp -+- « sinç)'».
Développons le second membre par la formule du binôme, séparons les parties réelles. et les parties imaginaires; il vient
Icosn<p = cos"©-^ CJ cos^-'ç sin*<p -\- Cicos"-*<p sin^cp — . . ., —- ; — *- = ncos«-*© — C„ cos»-'© sin*q>-^ CJ cos"-*© sin*© — . . .;
les coefficients Q sont les coefficients binomiaux, et les développements doivent être continués aussi longtemps que les exposants
5o6 UYRE II. — LES RACINES.
de coso ne sont pas négatifs. En vertu de Téquation
sin*<p = I — cos'çp,
les seconds membres peuvent s'exprimer rationnellement en fonction de C0SC9. Posons
r,v .XV sin/i©-,
(4) -icos/iç = A;,rar), — . — î-=B,|(x);
* sin©
A«(x) et B„ {x) sont des fondions rationnelles, entières en j:,la première du degré /i, la seconde du degré n — i .
Cherchons la loi de formation de ces fonctions. A cet efiet, nous écrirons d'abord leurs valeurs pour /i = i, a, 3, . .. ; nous établirons ensuite une formule de récurrence pour les fonctions de degré supérieur. On trouve
I\i{x) — x, Bi(a7) = i,
Ai(ar) = a?'— 2, Bt(a;) = ar,
Ki{x)==. x^ — 3ar, Bj(ar) = ar* — i.
On sait d'autre part que
C0S(/1 -H l)<p -^ COS(/l — l)© = 2C0SCp cos/içp,
sin(n -4- i)ï> -*- sin (/i — 0? = acoso sin no; on en déduit pour A„ et B^ les formules de récurrence
,^. 1 kn^^{x)==xkn{x) — \n-\{x),
f B«-Hi(a7) = J?B;, (a:) — B„,(a7).
Ces formules permettent de calculer A^ et B^, pour toute valeur de /i, quand on connaît leurs valeurs pour /î = i et aî =;= 2. On trouve ainsi
Ki,{x) = x^ — 4^*-*- '^^' Ai(x) = a?*— Sx^-h 5ar, k^(x) = x^ — 6a?^-i- gar* — 2; B^{x) = x^ — IX, Bj(.r)=ar^— 3a:»-hi, B6(a?) = a?*— 4^:3 -H 3x,
