CHAPITRE I. — FONCTIOÎÏS RATIONNELLRS

En divisant les deux membres de cette formule par x^f{x)^ il vient

(2) -77-v =Cn;n-ia7'»-«4-C;»;;ja7'»"-«-»-i-...-+-Cv-iar-v* V' ^

La suite indéfinie représentée par l'expression (3) c„;„,a?'»-«-+-c„;,ja7'»-'»-i-h. . .

s'appelle le développement par rapport aux puissances décroissantes de la variable de \di hdiclion -jz — -; les quantités a sont

les coefficients du développement. Le terme négligé — ^ — — s'ap-

pelle le reste, La recherche des conditions, sous lesquelles on peut remplacer la fonction fractionnaire par son développement, est du

domaine de l'Analyse; il est inutile de l'approfondir ici.

^( x) Lorsque, dans la fraction -->- — ^ le degré du numérateur est inférieur à celui du dénominateur, le développement de la fonction ne contient que des puissances de x k exposant négatif; dans le cas contraire, on trouve en premier lieu une fonction entière ou une constante. La partie

est la plus importante ; elle est la même pour toutes les fonctions <t> qui donnent le même reste de division par/.

Le développement (a) est déterminé sans ambiguïté, en ce sens que si l'on admet l'égalité

et si l'on fait la seule hypothèse que dans la fonction fractionnaire Û le numérateur est de degré inférieur au dénominateur, on a nécessairement

En multipliant les deux membres de (4) par x^/(x)^ il suit

d'abord que ^f{x) est une fonction entière de x^ de degré au

plus égal k n — i. La formule (i) montre ensuite qu'on a nécessairement

Ci = c'i .

11 en résulte, de plus, qu'on trouve les coefficients du développement de la somme de plusieurs fonctions fractionnaires en faisant la somme des coefficients des termes semblables dans le développement de chaque fonction; de même on trouve les coefficients du développement de leur produit en multipliant l'une par l'autre des parties suffisamment prolongées des développements des différents facteurs, et en ordonnant le résultat par rapport aux puissances décroissantes de la variable. On peut se servir, à cet effet, de la règle de la multiplication, appliquée à des fonctions

entières de — •

La fraction simple — ^7- a un développement de la forme

qu'on déduit facilement de l'équation (12) (§ 3 l

Supposons une fraction -^ — décomposée en fractions simples d'après la formule (8) du § 13 :

^(t) ^ __ J?^^JLl1__ • ^(^i) ^ ^^ ^>(g/i) .

/(^) "^"^/'(a^jûr — a,) "^ /'(aô (a:— "a/) "" ^ /'( a«) (a: — a„)'

en remplaçant les différentes fractions par leurs développements, on trouve, pour les coefficients c/, les expressions

/rx \^^i7.î^ \y<Xi^{oii^ \yoi)^{^i^

^'^ ">=2^fWi '^^Z-jûJo' "^l^TW)' •

les sommations étant étendues de / = i k i^= n.

Si, en particulier, on suppose <t>{x) =f'(^x), il vient

(6) Co=n, ^^^^gi^^^ ^2 = ^«î»

GUAPITR£ I. — FONCTIONS RATIONNELLES. 67

§ 17. — Fonctions entières de plusieurs variables; formes.

Jusqu'ici nous avons considéré de préférence les fonctions rationnelles et entières d'une seule variable ; il n'est pas toujours possible de se borner à ces fonctions, et nous avons dû déjà considérer des fonctions de plusieurs variables.

On Appelle fonction rationnelle et entière du degré n de plusieurs variables Xj y, z^ ... une somme de termes de la forme

a, p, Y sont des entiers non négatifs, dont la somme a-f- ^-f-y-j-... ne peut dépasser /i, mais devient égale à n dans un terme au moins. Le degré de la fonction est donc égal à la plus grande valeur atteinte par la somme a -4- p + y -f-. . ..

Lorsque celte somme a la même valeur pour tous les termes, on dit que la fonction est homoge^ne.

Les fonctions homogènes possèdent la propriété fondamentale suivante :

Si Von multiplie toutes les variables par un même facteur, la fonction se reproduit, multipliée par la puissance n de ce même facteur.

Ce fait s'exprime par l'égalité (i) ¥{tx, ty.tz, ...) = r'F(.r,/, 5, ...}.

Si, en effet, dans le produit x^y^zy.,.^ on remplace les variables par tx, ty^ tz, ..., ce terme se trouve multiplié par /a+p+Tf+... j comme a-f- ^ -f- y + • • • a, par hypothèse, la valeur n pour tous les termes, on pourra mettre t" en facteur de tous les termes de la somme.

Si, au contraire, la somme a+p + y-f-... n'a pas la même valeur dans tous les termes, il est clair qu'on ne pourra trouver un facteur commun de la forme t": si l'on en trouve un, il v aura encore certains termes qui contiendront des puissances de t d'exposant différent.

En augmentant le nombre des variables, on peut transformer chaque fonction non homogène en une fonction homogène du même degré. Soit, en effet, m — i le nombre des variables dans une fonction non homogène du degré n ; posons

X\ Xi T^

la fonction

iwm \ />« «v* /y*

sera une fonction homogène et entière des variables X\^ x^^ . . ., Xmt que nous désignerons par

11 est parfois utile d'écrire les fonctions homogènes de plusieurs variables à Taide des coefficients du développement de la puissance m d'un poljnome. On posera

9(i ^OC' /«.CCf

'*ii«» «m^i' ''^t' ' * "^«r»

II(a,)Il(^ajj... ll(a,«)

la sommation s'élendant à toutes les combinaisons des entiers non négatifs qui satisfont à la condition

(3) «1-1- aj-h. . .-^ a„t= /i.

Cette notation peut aussi s'employer pour des fonctions non lioniogrnes, en laissant de côté la condition (3).

On peut aussi écrire la fonction homogène sous la forme

(.4) *(j"i,Xj, . . ,sX,n) =^ Av,,Vî,...,v„^v, ^v. • "Xy/nJ

chacun des indices v^ , Va, . • .,.V/i devant prendre, indépendamment des autres, la suite des valeurs i , 2. . . ., /i. La somme (4) se compose donc de m" termes, lesquels ne sont pas tous différents. Le produit jTv.^v,- • "^^v, demeure en effet invariable lorsqu'on permute entre eux les indices inférieurs. Le nombre des permutations de n éléments est égal à n(w). Si, parmi ces éléments, il y en a ai, aj, . • . qui sont égaux, le nombre des permutations