CHAPITRE XII. — THÉORIE DES RACINES DE l'cNITÉ. Soy

On en déduit par induction les formules suivantes

(;) A;.(x)=2<-')^;r^,C:;v:r»-«v, oSv<^

(8) B«(^)=2(-i)^C:;^,i^-'v-i, oivg^';

on commence ces sommes en prenant d'abord v = o, et Ton continue, tant que les exposants de x ne deviennent pas négatifs.

On vérifie aisément que ces formules sont vraies pour les premières valeurs de n\ pour démontrer leur généralité, il suffit de prouver qu'elles vérifient les équations (6).

Écrivons à cet effet

mettons v — i à la place de v ; il vient

En faisant la convention Cj = o, on pourra faire croître v à partir de o. Les valeurs qu'il faut attribuer à v dans la formule (i) ne se distinguent de celles que prend v dans la formule (9) que pour n impair; dans ce cas, v prend dans la dernière formule la

Al -h I

valeur > et ne peut prendre cette valeur dans la première.

On pourra d'ailleurs prendre cette valeur dans la formule (^), si l'on fait la convention

Il vient alors

/ic;;,+(n-f)c:;i

D'après les valeurs des coefficients binomiaux (§ 7), on voit

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aisément que

et que celte relation reste vraie pour v = o et v = ; le

second membre de la formule (lo) n'est donc autre chose que le second membre de (7) où l'on change /i en n + 1 . Plus simplement encore la formule (8) donne

et, comme

la formule (8) est démontrée dans toute sa généralité.

Pour qu'on puisse mieux se rendre compte, écrivons les formules d'une façon plus détaillée :

Ià. r ^ . /1(B 3) A/, (a?) = 37'» — nx"^-^-+- ia?'»-* 1.2 I . '2 . 3

B„(x) = ir«-« — (n — 2)j:'«-3h 1^^«-5

En considérant cos/i'^ et sinn^ comme des quantités données, l'équation de degré n

(i3) 2 cos/icp = Art(r)

permet de déterminer l'inconnue ;r=acos©. On sait que le cosinus ne change pas lorsque l'angle varie d'un multiple de 2r.. D'après cela, l'équation (i3) est vérifiée par toute valeur de la forme

(14) a: = 2C0s(cp -+- -^— ^ h

V étant un entier quelconque, positif ou négatif.

On obtient d'ailleurs toutes les valeurs distinctes de (i4) en

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prenant pour v des entiers formant un système complet de restes, par exemple v = o, 1,2, ..., /i — i; on voit aisément que ces n valeurs sont distinctes, si l'on fait abstraction du cas particulier où CD est un multiple de r; deux cosinus ne peuvent en effet être égaux que lorsque la somme ou la différence des angles est un multiple de 17.

L'équation

(i5) sinncp = sinoB/,(a7)

donne une seule valeur pour sin<p, lorsque B/i(jr) n'est pas nul. Cherchons dans l'équation (i3) le terme indépendant de x\ tenant compte de (6), on trouve, pour n pair,

îî( — 1)* — '2 COS/lîp

et, pour n impair,

— *2 cos/io;

en égalant ces quantités au produit de toutes les racines, changé de signe ou non, on trouve, pour n pair.

(iG)

2'»-* I I COsf Cp H — ^ ) ~ ^ — ')* — COS/lCp

et, pour /t impair,

les deux membres étant des fonctions continues de (p, ces formules

restent encore vraies pour le cas de <p = A*-» exclu jusqu'ici.

Nous pouvons affecter le produit de l'indice vm au lieu de v, m étant un entier premier avec n\ vm et v prennent alors des valeurs telles, que, si les unes forment un système complet de restes par rapport au module /i, il en est de même des autres. Mettons à part la valeur v = o; donnons à v les valeurs entières,

positives ou négatives, inférieures à - ; on déduit alors de l'équation (17) cette formule, exacte pour toute valeur impaire de n,

(18) 2"-! Il cos^cpH —-jcos^cp jr^) =

coso

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