On a
SI
m ^ m! ( mod n ).
Le nombre n est impair et positif; supposons qu^il en soit de même de /n, et appliquons la formule (29) du § 444, dans laquelle nous remplacerons n par m; il vient
<'> ^•=(-)'^a«-.n(si„«,-P),
P représentant successivement les différentes racines de Téquation 4>ot(-2?) = o, lesquelles ont* pour valeur
(6) p = sin»lli^.
Si m! désigne un nombre premier avec /i, Texpression
(7) a = sin*
devient successivement égale aux différentes racines de Téqualion 4>;,(^) = o; si donc on pose dans (5)
•>, V /w' Tî
et si Ton multiplie membre à membre les égalités relatives à toute? les valeurs de v, il vient
n. i^mm'tz g
Sm (m — l)(/i-n (m — l)(w — 1) P
(»)-. — i---=(-.) • ■. ■ nn<— "•
2vm 7t sin
Le second membre de cette formule ne dépend plus de m' .
La valeur du premier est donc celle obtenue en faisant w'= 1 :
par suite, si l'on remplace les produits par leurs valeurs d'après (4 )*
on trouve
fmm'\ / m'\ / ni\ /i\
CBAPITRB XII. — THÉORIE DBS RACINES DE L'uNITÉ. 5iy
OU bien
Celte formule suppose que m et m' sont positifs et impairs. D'après les propriétés 3 et S, la formule (8) reste encore vraie, quand m ou m' est négatif ou pair, pourvu que m et m' soient toujours premiers avec n.
Supposons encore m impair et positif; les équations (4) et (9) donnent alors
a B / \ (m— I) (w-ll (m-IW/i-1) *^
,.0, (^)=(-) * ' ' nn^»-?)-
Échangeons m et /l; chacun des facteurs du double produit
change de signe; les autres facteurs ne changent pas. Le nombre
de ces facteurs est
il en résulte
(m-lUn — 1)
/ — ] est égal à ( — 1 » lorsque Vun au moins des deux nombres
impairs m et n est de la forme 4^ H- i ; au contraire, l — \ et
{ — ) sont égaux et de signes opposés, lorsque les deux nombres sont de la forme 4 Ar 4- 3 .
Ce théorème célèbre est connu sous le nom de loi de réciprocité. La démonstration que nous venons d'en donner est due à Elsenstein. A l'aide de cette loi et des propriétés S et 6, on peut
déterminer très rapidement la valeur du symbole ( — )» en opérant comme si l'on voulait trouver le plus grand commun diviseur de m et de n.
Les propositions 8 et 9 fournissent 'encore une dernière propriété applicable lorsque n et /i' sont deux entiers impairs premiers avfec m
5l8 LIYRB II. — LES RACINES.
Dans le cas où m est impair et positif, il suffit pour le voir de s'appuyer sur la congruence
(il) (/i — OC'*' — \) = {nn' — i) — (/i — i)--(/i' — i) = o (iiiod4)-
On applique aux deux membres de 10 les propositions 8 et 9. Lorsque m est pair ou négatif, il sufOt d^appliquer les propriétés 4 et 6.
D'après ces propriétés, on peut transformer ( — J en un produit de symboles (-)' dans lesquels q et p sont des nombres
premiers. Mais le calcul de ( — ] se fait encore plus facilement d'après la propriété 9, sans avoir recours à cette décomposition.
Indiquons, pour terminer, une autre signification du symbole
( — j9 dans le cas où p est un nombre premier impair; c'est le
sens que lui a donné Legendre.
Élevons au carré tous les entiers x non divisibles par /?, et cherchons leurs restes de division par/?; on ne trouve en tout
que — — restes distincts. En effet, les carrés de nombres congras
donnent le même reste ; de même les carrés de nombres égaux ei de signes contraires. Nous obtiendrons donc certainement tous
les restes en élevant au carré les • • nombres v :
Les carrés de ces v nombres donnent, en effet, tous des restes différents; si v et v' sont deux nombres distincts de cette suite, la différence
ne saurait être divisible par/?, puisque chacun de ses facteurs est inférieure/?. Parmi les nombres
l'une des moitiés figure donc l'ensemble des restes des nombres x-, tandis que l'autre moitié ne comprend aucun de ces restes. Les
