CHAPITRE XII. — - THÉORIE DES RACINES DE l'uNITÉ

nombres de la première moitié, et tous ceux qui leur sont congrus suivant le module /?, s'appellent les restes ou résidus quadratiques de p ; les autres sont les non-restes ou les non-résidus quadratiques de p.

Si donc m est un reste quadratique de p, la congruence

(12) x^^m (mod/>)

est possible ; il résulte des propriétés 7 et 8 que

On a donc

(yh

quand m est un reste quadratique.

D'autre part (prop. 1, § 142), on a vu que, si Ton donne à m

la suite des valeurs i, 2, ...,/? — i, le symbole ( — ) a autant

de fois le signe -f- que le signe — ; il en résulte qu'on doit prendre le signe — lorsque m est un non-reste quadratique. Donc :

H. p étant un nombre premier impair et m un entier non divisible par Pj le symbole ( ~] vaut -+■ \ ou — i, suivant que m est un reste ou un non-reste quadratique de p.

Ce théorème contient toutes les propositions importantes relatives aux restes quadratiques. Par exemple :

1Î2. Le produit de deux restes ou de deux non-restes est un reste; le produit d^un reste et dUin non-reste est un nonreste.

D'après le théorème de Fermât, tout nombre m, non divisible par/? vérifie la congruence

mP~-^

( Pjzl \( P^ \ — i = \m * —ij\m * -4-i/ = o (mod m).

L'un des deux facteurs

■no LITIE II. — LIS lACIKES.

doit être divisible par)?; un seul, d'ailleurs, peut satisfaire à cette condition, sans quoi leur diflerence 2 devrait être divisible par/». Si la congruence (l'i) est possible, on a

p-i m * - xP-^ ~ I { mod p > ;

on en conclut que tous les restes quadratiques au nombre de

- - » sont racines de la conerruence

X * :^ I (mod/>).

Cette congruence ne saurait avoir plus de -^ racines (§ 143),

<lonc les non-restes quadratiques sont racines de la congruence

X * ^ — I (mod/>);

d*où ce théorème d'Euler : tout entier /?î, non divisible par/?, vérifie la congruence

(i3) m « ^(- ) (modp);

ce qui s'énonce :

13. Le nombre m, non divisible par />, est un reste ou un non-reste quadratique de p^ suivant que

m * — I ou m * -^ I est divisible par p.

Ajoutons encore que, dans tout système d'indices, les restes quadratiques ont des indices pairs, les non-restes des indices impairs.

On peut déduire de ce qui précède quelques conséquences remarquables. Désignons par a les restes, par b les non-restes quadratiques du nombre premier/»; les uns et les autres sont au

nombre de — 7~* ^^*' ^(^) '^ produit des premiers, n(&) le produit des seconds. Les nombres a et 6 constituent l'ensemble (les nombres 1,2, ...,/?- i ; donc, d'après le théorème de VVilson [§ 143 (8)], on a

n{a)U{b) —I (mod/7).