CHAPITRE I. — FONCTIONS RATIONNELLES

se réduit à

n(ai)n(aî) ..,'

cela prouve que, dans la formule (4), le produit a:*'^*'... se présente un nombre de fois égal à

ll(n)

il(ai)n(a,)...'

si l'on convient, de plus, que Av,,v., ...,v„ ne change pas quand on y permute les indices inférieurs, on voit que les notations (2) et

(4) deviennent identiques; il suffit de réunir dans (4) les facteur* de même espèce

et de poser

Désignons par (m, n) le nombre des termes delà fonction ^, prise sous la forme (2); comptons d'abord les facteurs qui renferment Xi ; comptons ensuite les autres qui forment une fonction homogène de degré n des variables restantes; on trouve alors la formule de récurrence

A l'aide du procédé d'induction, on démontre alors l'exactitude de la formule

,-. , . m(/n -h i). . .(m -H n — i) Tl(m-^n — i) ( 6 ) (m.n)= = ~ — { .

Les fonctions homogènes entières s'appellent aussi des formes. Selon le nombre des variables, on les distingue en unaires (ce sont les puissances), binaires, ternaires , quaternaires. Les fonctions binaires nous offrent un intérêt particulier; leur théorie est au fond identique à celle des fonctions rationnelles et entières d'une variable. On revient des formes binaires à ces fonctions entières, en considérant l'une des variables comme une constante, en lui donnant, par exemple, la valeur i .

§ 18. — Dérivées des fonctions de plusieurs variables.

Nous avons défini au § 13 les fonctions dérivées d'une fonction rationnelle et entière d'une seule variable. Cette conception s'étend immédiatement aux fonctions de plusieurs variables; il suffit de prendre les dérivées par rapport à chaque variable, comme si elle était seule. Si l'on pose, par exemple (comme au

(i) ^{^,y,^, •••)=2Aa,p,Y,...ar«J'P-*T---

on obtient, comme première dérivée par rapport à x, ou, comme dérivée par rapport à^,

(3) F;=2P^«'Po%-.^='rP"*^^---

On peut prendre les dérivées de ces mêmes fonctions par rapport aux différentes variables, ce qui conduit aux dérivées d'ordre supérieur.

Afin de mieux apercevoir l'ensemble des résultats, désignons par

une fonction rationnelle et entière des m variables Xt, x^* • • -, x^' Remplaçons ces différentes variables par les binômes

développons les différents termes de la fonction

en effectuant les puissances telles que

ordonnons enfin les résultats par rapport aux puissances de Ç,, Çs j • • • ? Çwi •