CHAPITRE XIII. — LA THÉORIE DE 6AL0IS

On sait alors (§ 6, II) qu'on peut déterminer deux fonctions en Q, Q(^) et ?(^), cette dernière du degré n — i au plus, telles qu'on ait

Faisons dans cette identité a? = a; observons que /(a) est nul, il en résulte

Les coefficients de f (^) sont des éléments de û; appelons-les Cq, ^o • • • 7 Cn-i ; on voit que chaque élément 0 du corps Û(a) peut se mettre sous la forme

Cette représentation n'est possible que d'une seule manière. Si, en effet, on avait simultanément

(6) G =Co-f-c'ia-t-c'ja*-i-...H-Crt|a'»-^

la fonction* de degré n — i

serait nulle pour œ =:aL. Gela n'est possible, d'après le théorème III du paragraphe précédent, que si l'on a

Si donc on considère les éléments du corps û comme donnés et rationnels, si Û(a) est le corps dérivé de Û, on peut appeler, pour abréger, fonction rationnelle toute fonction rationnelle en Û, et dire :

Le corps Û(a) est formé par ^ensemble de toutes les fonctions rationnelles de a.

§ 150. — Adjonction simultanée de plusieurs grandeurs algébriques.

Nous nous proposons maintenant de prouver que l'adjonction simultanée de plusieurs grandeurs algébriques peut être rem-

532 UTU Ul. — LES CftA!irMCCmS AUGtSBlQCC

placée par FadjoDCtioD d'à ne seale graDdeor; en d'antres termes. lODt corps û z, ^, Y; ../• peut être considéré comme nn corps O z'- Soient dune x. i, T* - - - ^^^ quantités algébriques en nombre quelconque, et

des équations en û. avant respectivement pour racines x, 3. ^

Aucune de ces équations n*a de racines multiples, bvpotbèse qui ne restreint pas la généralité du raisonnement.

Nous avons vu au paragraphe précédent que tout élément d^un corps Û'z; peut être mis sous forme d^une fonction entière de z. rationnelle en û. Si, au lieu du corps Q, on considère le corps U'^î,*^. ... >, on voit que tout élément du corps ûi'z, 3? 7, -•-,» >c met sous forme d'une fonction entière, à coefBcients rationnels dans Û' ^^ 7^ . - -j- En répétant ce même raisonnement pour les coefficients, on voit facilement que :

Tout élément d^un corps û(z, ^3, y? • • -^ *^ "^e/ sous forme {T une fonction entière de 1^ ^, v, .... rationnelle dans le corps Û.

Soit i une fonction linéaire de z, ^, y, . . .,

observons que chacune des équations (i) a autant de racines qu'il j a d'unités dans son degré. Soit z', ^', 7^9 •• • une autre combinaison formée par des racines appartenant chacune à une des équations (1); posons

et formons de la même manière ^, ^"^ .... Le nombre des quantités i ainsi formées est

m = abc, . ,j

en désignant par a, b, c, ... les degrés respectifs des fonctions A{x)y B(x)y C{x)^ —

Les différences i — ç', Ç — Ç', Ç' — Ç", ... sont des fonctions linéaires de x,y^ Zj . . .; aucune d'elles n^est identiquement nulle, puisque, par hypothèse, aucune des équations (i) n'a de racines