CHAPITRE XIII. — LA THÉORIE DE GALOIS

égales. Diaprés le théorème démontré au § 43, on peut donner à ^tyy ^^ • • • ^cs valeurs rationnelles telles qu'aucune de ces différences ne soit nulle; les m valeurs Ç, $', Ç'^, ... sont alors distinctes.

Or, toute fonction rationnelle, symétrique par rapport aux racines de chacune des équations (i), s'exprime rationnellement en fonction des coefficients de ces équations; c'est donc un élément de û. II en sera donc ainsi des coefficients de la fonction de degré m en t

F(^) = o est donc une équation en û, qui n'a que des racines simples et dont une des racines est égale à Ç.

Soit, d'autre part, 6 un élément de Û(a, p,Y, ...), c'est-à-dire une fonction rationnelle de a, P, y, ... ; soient 6', 6'', ... les quantités qui se déduisent de cette fonction rationnelle quand on remplace a, p, y, . . . par a', P', y', ... ou a", P", y^, .... La fonction

est une fonction symétrique de a, a', a'', ... ; p, P', P", ... ; y, y', Y- ... ; c'est donc une fonction entière de degré m — i en ^, rationnelle en û; si l'on y fait ^ = Ç, il vient

(3) o=Ml.

par suite 0 est un élément du corps û(^). Gomme réciproquement tout élément de Û(Ç) est contenu dans û(a, ^, y, ...), les deux corps sont identiques :

Notre théorème est donc démontré.

§ 151. — Corps primitifs et imprimitifs.

D'après ce qu'on vient de dire, on peut donc se borner à la considération des corps algébriques û(a), a étant une racine d'une

534 LITRE III. — LKS GRANDEURS ALGfiBRIQUES.

équation en û. Supposons cette équation débarrassée de ses facteurs multiples; désignons-la par

soit m son degré, et

ses racines.

F(:r) peut être réductible en û; il existera alors un facteur irréductible f{x) de F(a:), et un seul, tel que a soit racine de Téquation

Soient n le degré de /(^), et

(4) a. aj, Œj, ..., Œ/i— 1

ses racines.

D'après la définition donnée au § 149, le degré du corps û(at) sera aussi égal à n.

Chacune des quantités (4) peut servir à former un corps algébrique; on obtient ainsi

ce sont les corps conjugués de Û(a). Il peut arriver que plusieurs ou même tous ces corps soient identiques; ils peuvent être tous différents; nous reviendrons plus tard sur ce point.

Oix obtient chaque élément 6 de û(a) (§ 149) en prenant une fonction entière x(Oî ^® degré n — i au plus, rationnelle en û, et en y remplaçant t par a.

Si, dans^(^), on remplace t par les différentes quantités (4)i on obtient n quantités, qui appartiennent respectivement aux différents corps conjugués ; ce sont

(6) e = x(a), 0i = X(«i)i •••' e«, = x(at„-i);

ce sont les éléments conjugués de 6.

Toute fonction symétrique de ces éléments est aussi une fonction symétrique des racines de l'équation (3); c'est, par suite, un élément de û.

CflAPITRE XIII. — LA THÉORIE DE GALOIS. 535

Parmi ces fonctions symétriques, nous en mettrons deux en évidence, qui se présentent souvent et auxquelles nous donnerons des noms et des signes particuliers; ce sont la somme

(7) S(e)=..o-hO,-^...-4-o„,,

que nous appellerons la trace (Spur) de 0, et le produit

qui s'appellera la norme de 6. Les nombres conjugués ont donc la même trace et la même norme.

Le produit

est une fonction entière en t^ de degré n, rationnelle en û; elle admet comme racines 6 et les quantités conjuguées. D'où ce théorème :

L Tout élément de Û(a) est racine d'une équation e/i'Û, de degré n, qui admet pour autres racines les quantités conjuguées de l'élément considéré.

Déduire la fonction ^{t) de/{x) n'est autre chose qu'effectuer la transformation de Tschirnhausen, considérée à un autre point de vue dans le quatrième et le sixième Chapitre.

Étudions maintenant la fonction ^(t) au point de vue de l'irréductibilité.

Si la fonction ^{t) est réductible, elle admet un facteur irréductible <f{t)y dans lequel on peut supposer le coefficient de la plus haute puissance de t égal à l'unité; chacun de ces facteurs s'annule pour l'une au moins des quantités 6, 0| , . . ., 0/}.i .

Supposons donc que

les équations ç[x(^)] = o et /{^) = o auront une racine commune. f(x) étant par hypothèse irréductible, la fonction ç[x(^)] devra s'annuler pour toutes les racines de /(^) [§ 148, II]; on aura donc

cp(e) = o, <5)(e,) = o, ..., çp(e„i) = o.

Si donc les valeurs conjuguées de 8 sonl toutes distinctes, o(i) est identique à 4>(^); donc ^{t) est irréductible. Si, parmi les quantités conjuguées de 0, fit seulement sont distinctes, par exemple 0, Oo • . ., 0|,,-i, on aura

tout autre facteur irréductible de ^(0' devant s^annuler pour une au moins des quantités 6 et par conséquent pour toutes, sera identique à (f{t). La fonction 4>(^) sera donc une certaine puissance de (f{t) :

et Ton aura

(12) /i = /ii/ii;

d'où cette proposition :

2. La fonction 4>(^) est irréductible, ou bien c^est une certaine puissance d'une fonction irréductible. Les n quantités conjuguées d'un élément de Q{ol) sont toutes distinctes, ou bien se répartissent en n^ systèmes de n^ nombres égaux entre etu. Dans le premier cas ^(t) est irréductible; dans le second cas, c'est la puissance d'exposant n^ d'une fonction de degré /i|, irréductible en Ù,

Un élément 6 de û(a), différent de tous les éléments conjugués, vérifiant par conséquent une équation irréductible de n, s'appelle un élément primitif Au corps. D'après le théorème I du § 43, 00 sait déterminer une infinité de tels éléments primitifs, et cela de telle sorte, que les coefficients de 6 = y(a) soient des nombres rationnels. 11 suffît de disposer des coefficients de y de telle manière que les quantités conjuguées- soient toutes distinctes.

3. Tout élément w d'un corps Q ( a) peut être exprimé rationnellement à l'aide d'un élément primitif quelconque ^ dece corps.

Soient, en effet, w, Wi, 0)2, ..., u)/,i les éléments conjugués de to; de même 6, 6|, 62» • • •? 9«-j les éléments conjugués de 6; posons

*(0=(«-e)(^-ei)...(<-e«,);