CHAPITRE XIII. — LA THÉORIE DE GALOIS

la fonction

est une fonction rationnelle et entière, du degré n — i par rapport à t^ dont les coefficients appartiennent à û; il en résulte, en faisant ^ = 8,

^'(8) n'étant point nul.

Le corps tt(6) est donc identique au corps û(a).

4. Si 9 n^ est pas un élément primitifs on ne peut exprimer tous les éléments deQ{cx) rationnellement en /onction de 8. Le corps Î2(9) est un diviseur du corps Û(a), et le degré de û(6) est un diviseur du degré de Q(aL),

En effet, tout élément du corps û(6) vérifie une certaine équation (en û) d'un degré Wi, diviseur de n et, par suite, inférieur à /?. Il en résulte qu'un élément primitif du corps û(a) ne peut être contenu dans û(8), puisque cet élément doit vérifier une équation irréductible de degré n.

Le corps û(a) est dit primitif lorsque, outre les éléments de û, il ne contient pas d'éléments non primitifs. Il est dit imprimitif s'il contient, en outre, des éléments non primitifs.

De cette définition il résulte d'abord qu'un corps de degré premier est nécessairement primitif; en effet, si 8 est un élément non primitif de û(a), 8 vérifie une équation dont le degré est un diviseur de 71, inférieure n. Lorsque ce diviseur est égal à i, l'élément 8 appartient à Û.

Nous allons maintenant faire connaître quelques-unes des propriétés les plus importantes des corps imprimitifs.

Supposons que û(a) admette un diviseur û' différeot de Q; que Q' lui-même admette û comme diviseur {Qf est alors un corps supérieur àû). Soit ^ un élément appartenant à û', mais non à Û; le corps û(^) est alors un corps algébrique supérieur à Q, et en même temps un diviseur de û' et de û(a). D'après ce que nous venons de démontrer, le degré /i| du corps Û(P) est un diviseur de n.

Supposons queQ' contienne encore d'autres éléments que ceux de û(p); soit Y un de ces éléments; le corps û(pj y) sera un diviseur de û' et de û(ol) et admet lui-même pour diviseur 0(^)- Le degré de û(^, y) est donc supérieur à celui de O(^) et inférieur à celui de 0((z). Si l'on n'a pas épuisé de cette manière tous les éléments de û', on pourra répéter le même raisonnement; mais on sera arrêté au bout d'un nombre limité d'opérations, puisque les degrés des corps successifs Û(P), Û(P, y)? • • •? vont toujours en croissant, tout en restant inférieurs à n. Donc :

5. Tout diviseur de Û (a), contenant le corps û, est un corps algébrique supérieur à û. Le degré de Û(P) est un diviseur du degré de û(a); lorsque les deux corps sont de même degré, ils sont identiques.

Notre définition du corps primitif peut donc aussi se formuler de la manière suivante :

6. Un corps algébrique supérieur à û est primitif, lorsqu'il n'admet pas d'autre diviseur supérieur à Q que lui-même.

§ 152. — Corps normal. Résolvante de Oalois.

Soit Û(a) un corps algébrique; les corps conjugués

sont tous du même degré; si donc l'un d'eux est contenu dans l'autre, ils sont identiques.

Un corps, identique à tous ses corps conjugués, s'appelle un corps normal. Les propriétés d'un tel corps sont beaucoup plus simples, et les grands progrès, que l'Algèbre doit à Galois, proviennent essentiellement de ce fait que des corps quelconques peuvent se ramener à des corps normaux. Ces corps normaux s'appellent aussi, pour cette raison, des corps de Galois.

Lorsqu'un corps Û(p), de degré [x, est tel que les nombres conjugués p, pf , . . ., pj|,f sont tous contenus dans û(p), ce corps est normal; car, dans ce cas, les corps û(p!), .-•, Û(p^..<) sont tous contenus dans û(p), et, par suite, lui sont identiques.

GUAPITRE Xllf. — LA THÉOBIE DE GALOfS. SSq

On dit qu'une équation est normale, lorsque :

i® Elle est irréductible ;

2** Toutes ses racines s'expriment rationnellement {en Û) en fonction de Vune d'entre elles.

Un élément primitif d'un corps normal de degré [x est racine d'une équation normale de degré p.. La réciproque est aussi vraie; si p est racine d'une équation normale de degré [x, le corps û(p) est normal et de degré [x.

Soit en effet po la racine de l'équalion normale, en fonction de laquelle les autres racines peuvent s'exprimer rationnellement; Q(po) est certainement un corps normal. Le corps û(p) est conjugué de celui-ci et lui est, par suite, identique.

Il résulte en outre de là que les racines d'une équation normale s'expriment rationnellement, non en fonction d'une racine déterminée, mais en fonction d'une racine quelconque de l'équation.

Voici comment on peut réduire un corps algébrique quelconque à un corps normal.

Soit

une équation quelconque de degré /w, réductible ou irréductible en Û; nous supposerons seulement qu'^//e n'a pas de racines multiples. Soient

(2) a, a], ..., dm-i

ses racines. On en déduit m corps algébriques

(3) Û(a), Û(ai), ..., û(a;„-,);

on peut évidemment choisir la fonction F (a:) de telle sorte que, parmi les corps (3), se trouve un corps quelconque supérieur à û. Le corps

(4) N = Û(a, «,, aj, ..., a,„i),

formé à l'aide de toutes les racines de (a), sera dit le corps de Galois de V équation F(a?)= o.

Si le polynôme F(^) est irréductible, les corps (3) forment un

système conjugué. Nous dirons alors que le corps N est la norme de chacun de ces corps. Lorsque Û(a) est un corps normal, il est identique à sa norme.

Il s'agit de démontrer que, dans le cas général, N est un corps normal. Choisissons dans le corps N un élément primitif p (§ 150, loi); on pourra alors désigner ce corps N par û(p). Le degré de N étant égal à |jLy cet élément p vérifie une équation irréductible de degré a

il suffit de montrer que cette équation est normale.

Remarquons, à cet effet, que l'une des racines p de celle équation est une fonction rationnelle des quantités a, af, . . ., a^-i, puisque p est un élément de N. Posons donc, pour caractériser ce fait,

P = p(«> «Il •• -ï «OT-i);

formons ensuite toutes les permutations possibles des indices o, ] , 2, . . ., m — i; le nombre de ces permutations

est égal à \\{m)\ les indices accentués sont les mêmes, dans un ordre différent, que les indices non accentués. On forme ainsi les fonctions

qui peuvent d'ailleurs être différentes ou non.

Si, dans toutes les dispositions (6), nous opérons une même transposition, par exemple celle de o et i , l'ensemble de ces permutations ne change pas, mais bien l'ordre dans lequel elles se suivent. En effet, une telle transposition ne peut produire que des permutations des m indices; comme ces permutations étaient primitivement différentes, elles le sont encore après la transposition.

Chacune de ces transpositions a donc pour seul effet de permuter entre elles les fonctions (7). Si donc on forme la fonction

de t