CHAPITRE XIII. — L4 THÉORIE DE GALOIS. 54 I

ses coefficients sont certaines fonctions de a, aj, ..., a„4 i, que la transformation laisse invariables; en d'autres termes, ce sont des fonctions s^^métriques des racines de F(^); par suite, les coefficients de G{t) appartiennent à Û. Toutes les racines de G(^) appartiennent à N, puisque ce sont des fonctions rationnelles des quantités a.

G(^)et^(^^) ont une racine commune. Comme g{t) est irréductible, G(/) devra être divisible par g{t); par conséquent, toutes les racines de g{t) appartiennent à N. Donc N est un corps normal. c. q. f. n.

Toute équation telle que g(t) = o s'appelle une résohante de Galois de l'équation F(^) = o; une résolvante de Galois se définit donc de la manière suivante :

Une équation g(t) = o est une résonante de Galois d'une équation donnée F(^) = o (en Û), quand elle possède les propriétés suivantes :

I "^ g{t) est irréductible ;

2® Toutes les racines de ¥ [x) peuvent s'exprimer rationnellement en fonction d'une racine o de g{t);

3" Une racine de g (t) peut s'exprimer rationnellement en fonction des racines de F{x).

En effet, d'après la seconde propriété, N est contenu dans û(p); d'après la troisième, un des corps conjugués de û(p), par exemple û (pi), est contenu dans N. Les degrés de N et û(pi) ne peuvent donc pas être distincts. Donc : N = Û(p).

Toute résolvante de Galois est une équation normale; toute équation normale est sa propre résolvante de Galois,

§ 153. — Substitutions d'un corps normal.

Soit 0(p) un corps normal de degré [x, p un de ses éléments primitifs; soit, en outre,

l'équation irréductible de degré [x, dont une racine est égale à p.

5^2 LIYBE III. — LES GRANDEURS ALGfiBRIQUES.

Soient

(2) p, Pi, Pi, ..., PtA-i

les éléments conjugués de p.

Diaprés la définition du corps normal^ tous ces éléments appartiennent à Û(p); on pourra donc déterminer des fonctions ^i{t), ^2(^)1 •••) 8(^-1(^)1 rationnelles en Û, de degré [x — i au plus, telles que

(3) pi = 0,(p), pt = 6j(p), ..., ppt, = epi,(p).

b) étant un élément quelconque de Q{p), on pourra exprimer les grandeurs conjuguées par les formules

(4) w==(p(p), w, = o(p,), ..., oj^i-, = çp(p^.,),

q(^) étant une fonction rationnelle en û.

Comme g{t) est irréductible, on peut appliquer le théorème II du § 148, ce qui donne Ténoncé :

1. Lorsqu'une fonction ^{t), rationnelle en Û, a une racine commune avec g{t)^ toutes les grandeurs conjuguées

*(p). *(pi), •••» *(Pii-i) sont nulles.

Dans une des fonctions 6a(p) qui figurent dans les formules (3), remplaçons p par une autre racine p^; le résultat est encore une racine de l'équation (i). Enteffel, si l'on a

il résulte du théorème 1 qu'on a aussi

<r[OA(pA)] = 0- •

Par conséquent, les grandeurs

(5) p/i, 6,(pa), e,(p/,), ..., 6{i-i(p/z)

ne sont autres, dans un ordre différent, que les grandeurs

(6) p, 6,(p), 0,(p), ..., Oj,,(p).

Ce fait sera entièrement démontré, si l'on montre que les quantités (5) sont toutes distinctes. Pour simplifier les notations, dési-