CHAPITRE XIII. — LA THÉORIE DE GALOIS

gnons par %(p) la racine p elle-même; si deux quantités (5) sont égales, on a

(7) ^i(ph) = ^k(?h):

donc (théorème 1)

égalité impossible par hypothèse, puisque i et k sont distincts. Donc les grandeurs (5) sont toutes distinctes.

Ce que nous venons de dire peut se résumer dans le théorème suivant :

2. L'échange de p avec p^ transforme toute quantité conjuguée de p en une autre; deux quantités distinctes ne donnent jamais la même transformée.

Remplacer dans toutes les fonctions de p cette racine par une autre racine p^ s'appelle faire une substitutiqn. Nous désignerons cette substitution par

<ya=(p,pa), a=0, 1,2, ..., fA — i;

<7q ou (j est la substitution identique; elle consiste à remplacer la racine p par elle-même ; tous les éléments de Û(p) restent donc invariables.

Faisons la substitution t^ dans une quelconque des formules (3)

P/*=0>i(p); Pa devient alors une autre racine p^t, déterminée par l'équation

(9) PA= OA(pa) = ÔA[ea(p)] = O^Cp);

p^ est lié à Ça psir le même signe fonctionnel que pA à p.

Un élément quelconque w = ^(p) du corps Û(p) est transformé par la substitution en un autre élément &)<,=: '^(pa). Exprimons cj en fonction dé p^ et coa en fonction de p^^; on aura

t^ = ^(PA), Oia=^{9k)'

Par conséquent, co devient co^ par la substitution

(«O) ^a = (PA, 9k) = [pA, OaGûCp)];

c'est là une autre forme de la substitution (p, p^).

Oh est une racine quelconque de g{t)] la racine correspondante pA est déterminée par la substitution (Ja. Inversement, on peut se donner p^ et déterminer la racine correspondante p/i, en considérant ^h{^a) et donnant à h la suite des valeurs o, i, 2, . . ., [JL — I ; on ne trouve, en effet, qu'une seule fois chaque racine p*. Donc :

3. Toute substitution (Ta peut être représentée par (p^, p*), OA ou pA étant une racine arbitraire de g{t)\ l'autre racine est déterminée quand (Ta est donnée.

Le nombre des substitutions distinctes (Ta est donc, en y comprenant la substitution identique, égal au degré du corps Û(p); nous l'avons désigné par [x. Chacune de ces substitutions transforme Tensemble des éléments du corps en lui-même; chaque élément se transforme en un autre déterminé ; deux éléments distincts ne donnent pas le même élément transformé [(7) et (8)].

Les substitutions o-^ sont dites les substitutions du corps Û(p).

Si l'élément o> = <p(p) du corps û(p) reste invariable quand on remplace p par p^, c'est-à-dire si

nous dirons que l'élément w permet la substitution (p, p^) ou ff^. Les grandeurs (o qui, à Texception de la substitution identique, ne permettent aucune substitution o-^, sont les éléments primitifs du corps û (p).

4. Une grandeur qui permet toutes les substitutions (Ta est nécessairement un élément de Û.

Cette grandeur coïncide, en effet, avec toutes ses conjuguées; elle vérifie donc (§ 151) une équation du premier degré (en û).

§ 154. — Composition des substitutions.

Remplacer, dans une fonction de p la racine p par p^, puis p^ par pi, revient à remplacer immédiatement p par p^. Si donc, on pose

(U <r=(p, Pa), ^'={paypb), <ï'=(p, Pô),