CHAPITRE XIII. — LA THÉORIE DE 6AL0IS

on obtient le même résultat, en efiectuanl sur les éléments du corps û(p) les substitutions successives <r et (t', ou la substitution unique a".

1. On dit que (f est composée de t et o-', et on indique cette relation par la formule

D'après le théorème 3 du paragraphe précédent, on peut choisir arbitrairement le premier ou le deuxième élément de la substitution (pA, p^); on peut donc choisir p^ et p^ de telle sorte que les deux substitutions a- et (t' soient deux quelconques des. [x substitutions du corps û(p); ^' est alors entièrement déterminée.

Inversement, (7et(/ étant données, (t' est déterminée sans ambiguïté. En effet, p étant choisi arbitrairement, pa est déterminé par T, pé par </ ; donc d' = (pa, p^) est connue. Enfin, (j' et ^' étant supposées données, p^ est déterminé par (/, p^ par cr'; par suite, T est connue. Donc

2. Parmi les trois substitutions liées par V équation symbolique (yd'= (/, deux quelconques peuvent être choisies arbitrairement, la troisième est déterminée par elles sans ambiguïté.

Nous avons exprimé symboliquement la composition de deux substitutions par le signe de la multiplication. L'ordre des facteurs ou des composantes n'est pas indifférent; car la substitution (j<j' peut'étre différente de (j'çr; en d'autres termes, la multiplication symbolique n'est pas commutative comme la multiplication ordinaire. Elle est au contraire associative, ce qui s'exprime par le théorème suivant :

3. 0-, t', (t" étant trois substitutions quelconques du corps Û(p), on a

On le voit aisément. D'après le théorème 3 du § 153, on peut choisir p^, p*, ^c de telle sorte que

(4) ^ = {9^ 9a), <ï' = (pa, p*), <ï''=(p/», pf);

546 LIVRE m. — LES GRANDEURS ALGÉBRIQUES.

^''=(p, P6), (.^^')9'=(pjpb)(àb,pc) =(p, Pc);

^'^'^ ipa, Pc), <J((tV) = (p, pa)(pa, pc) = (?, pc)-

On peut désigner par ao-'i/ la substitution composée des trois substitutions successives a*, o-', (/; de même la substitution plus générale (to^o"... se fait en composant deux substitutions voisines, jusqu'à ce que tout le produit symbolique soit ramené à uoe substitution unique. En effet," d'après le théorème 3 du § 153, on peut faire en sorte que

<'=(p»Pa)» <^'=(pa,pb)y ^"^ipb.pc), (T"'=(pc,pc);

il en résulte

(p, pa)(pa, pb)(pb, pcKPc Pc) = (p, Pc);

le nombre des composantes peut évidemment être quelconque.

Puisque les p. substitutions du corps normal Û(p) possèdeol les propriétés i, 2, 3, on dit qu'elles forment un groupe^ et plus spécialement un groupe /ini de degré [x. Leur ensemble s'appelle le groupe des substitutions du corps û(p).

Nous nous occuperons ultérieurement de la théorie générale des groupes.

§ l£fô. — Groupes de permutations.

Nous avons montré au § 152 comment, étant donnée une équation quelconque (en Û)

de degré m, sans racines multiples, on peut déterminer un corps normal û(p) auquel appartiennent toutes les racines de (i). En appelant

(2) a, «1, aj, ..., 7.m-\ les racines de (i), on aura

(3) a = X(p)» ai = Xi(p)» .-•, «m-i = X'«-i(p), les fonctions ^ étant rationnelles en û.