CHAPITRE Xiri. — LA THÉORIE DE 6AL0IS

Remplaçons p par une quantité conjuguée p^ c'est-à-dire faisons la substitution a- = (p, pi ) ; chaque racine a se transforme en une autre, deux racines différentes ne donnant jamais la même transformée. En effet, si l'on a

F(«) = F[X(P)]=0, on aura aussi (§ 153, 1)

F[x(Pi)]=o;

en d'autres termes, ^(pi) est racine deTéquation (i). Nous avons d'autre part montré, au § 153, que deux éléments différents de Û(p) ne peuvent donner le même élément transformé.

1.' Une substitution a a donc pour effet de permuter les racines, chacun des indices o, i, a, ...,m — i étant remplacé par un autre de ces indices.

Nous sommes ainsi conduits à étudier plus en détail et d'une manière générale les permutations des m nombres

o, I, a, . . ., m — I et leurs propriétés.

Supposons que les nombres o, i , 2, . . . , /n — i se transforment

respectivement en ao, a%y a^t • - • , (im^\ \ Ist permutation

(4) ^0» ^lï ûfj, ,.., a/ii-i

sera une autre disposition des nombres o, i , 2, . . . , m — i . Nous désignerons le passage d'une disposition à une autre par le symbole

(5) ir»^/"^» '* ^ '^-'V

\ao, «1, ai, . . . , am-i j

et nous appellerons ce passage une permutation.

Le nombre de toutes les permutations possibles de ni éléments est

II(/w) = I .2.3. . ./«,

en y comprenant la permutation identique

qui laisse chaque élément à sa place.

Le symbole (5) De change pas de signification quand on change l'ordre des couples d'éléments supérieurs et inférieurs. Si donc

^Oî ^li ^î> ' ' "1 ^m-i

est une autre disposition des nombres o, i, 2, .. ., m — i on peut écrire, au lieu de (5),

On peut déduire de là le concept très important de la composition des permutations. Remplacer l'indice a par l'indice 6, puis l'indice b par l'indice c, revient à remplacer immédiatement l'indice a par c. Si donc on fait Tune aprè3 l'autre deux permutations, le résultat est une seule permutation, qu'on peut représenter de la manière suivante :

Soient

deux permutations quelconques; par l'emploi du résultat (6), oa peut aussi écrire la seconde

si donc on effectue les deux permutations iZa elizb Tune à la suite de l'autre, le résultat est une nouvelle permutation qui est dite composée avec iZa et tt^, et que nous représenterons par le produit tc^tc^,

La plupart du temps, on ne peut changer l'ordre des permutations, car T^a'^h ne coïncide pas en général avec u^iTa. Mais l'opéra lion reste associative, en ce sens que

On s'en rend compte simplement de la manière suivante : si r.^ change l'indice p en q^ si -ki, change q en r, si enfin ite change r