T^c étant composée de iza et tzi

(12) r:c=i:aT^bi

chacune de ces permutations est déterminée sans ambiguïté quand on se donne les deux autres.

55o LITRE III. — LES GRANDEURS ALGÉBRIQUES.

En eOel, il résulte de (12)

3. Si parmi les n(m) permutations de m éléments on peut choisir le système

tel que la composition de deux, et par conséquent d'un nombre quelconque de permutations de ce système donne encore une permutation du même système, on dit que le système Q est un GROUPE DE PERMUTATIONS ; Ic degré de ce groupe est égal au nombre des permutations qu'il contient.

L'ensemble de toutes les H (m) permutations forme un groupe; la permutation identique forme à elle seule un groupe. Les groupes différents de ces deux cas extrêmes nous occuperont dans les Chapitres suivants.

Comme exemple simple, mentionnons simplement \e groupe des permutations cycliques ou plus brièvement le groupe cyclique; on l'obtient lorsque, dans une disposition quelconque des indices 1,2, . . . , /î, on remplace chaque nombre par le suivant et le dernier par le premier; on répète cette opération, jusqu'à ce qu'on retrouve la disposition primitive. Le degré du groupe cyclique est égal au nombre des indices. Dans le cas de trois indices, il se

compose de

Il existe des groupes particuliers, qui nous occuperont plus tard, qui ne comprennent que des permutations telles que leur composition soit aussi commutative :

l'analogie avec la multiplication est alors bien plus précise. Ces groupes, qui comprennent les groupes cycliques, sont dits cornmutatifs ou abéliens.

Lorsque tous les éléments d'un groupe Qi sont contenus dans un groupe Q, Q^ est un diviseur de Q; Q est divisible par Q«.