CHAPITRE Xlil. — LA THÉORIE DE GALOIS

§ 1S(6. — Oroupe de Oalois.

Soient a, af , a^, . . . , am-i les racines d'une équation F(^) = o, représentées par les formules (3) du paragraphe précédent comme éléments d'un corps normal Û(p), de degré [x. Si l'on effectue sur ces racines une des [x substitutions du corps normal, il se fait une certaine permutation des racines, comme on l'a déjà montré. A chaque substitution a- correspond donc une permutation i: des m indices o, i, 2, . . ., m — 1. Deux substitutions différentes ^A) ^k conduisent à deux permutations différentes tca» "^k'

En effet (§152), p est une fonction rationnelle de a, a^, . . «, ^m^\ ; désignons-la par

, Faisons dans cette formule il vient

(0 p = *[x(p)»xi(p)' ••MX'n-i(p)];

. donc (§ 153, 1), on a pour chaque valeur de A",

(^') PA= *[X(P*)» X»(P*)' • • -y X'i-iCP*)]-

Si les substitutions t;^ et o-a produisaient la même permutation des racines a, on aurait, pour chacun des indices 5 = 0, 1, ...,m — 1,

il résulte alors de (2) que 0'^= «"a.

Si la substitution (j^ produit la permutation ir^ des racines, nous dirons que la permutation iia correspond à la substitution Vfi»

A chaque substitution correspond une permutation déterminée ; le nombre des permutations est donc, en y comprenant la permutation identique, égal à [x.

Si aux substitutions o-^ et o-^ correspondent les permutations 7:^ etiTA, à la substitution composée (t^o-a correspondra la permutation it^^ita. En effet, les permutations sont les résultats des substi-

tutions correspondantes sur certains éléments du corps û(p); il est donc indifférent d'effectuer les deux substitutions l'une après Fautre, ou d'effectuer en une seule fois la substitution composée (§ 154). Nous avons donc cette proposition :