I. Aux Y- substitutions

du corps û(p) correspondent ^permutations de m indices,

de telle sorte qu!à une substitution composée de deux substitutions (3) correspond la permutation composée des permutations correspondantes dans (4).

Il en résulte immédiatement que les permutations (4) forment un groupe; nous le désignerons par P et nous l'appellerons le groupe de Galois de V équation F(j:) = o, ou encore le groupe de Galois de chacun des corps û(a) , Û(a|), . . . , û(aOT i).

Ce groupe et le groupe des substitutions du corps Û(p) se correspondent d'après le théorème I; c'est pourquoi on dit qu'ils sont isomorphes.

Pour trouver les propriétés caractéristiques du groupe de Galois, il suffit d'énoncer sous une forme un peu différente les théorèmes 1 à 4 du § 153. Quand une permutation m laisse invariable une fonction des m racines, nous dirons que la fonction permet cette permutation. Donc :

{a). Toute relation {rationnelle en û) entre les m racines de ^{x) reste vraie quand on soumet les racines à une permutation du groupe de Galois,

(6). Toute fonction {rationnelle en Û) des m racines de F(a:), qui permet toutes les permutations du groupe de Galois, est un élément de û.

En effet, exprimons toutes les racines de F(^) en fonction rationnelle de p; une fonction des racines a devient alors une certaine fonction ç(p). Si l'on a d*abord effectué une certaine permutation du groupe de Galois, on obtient une des quantités