CHAPITRE XIII. — LÀ THÉORIE DE GALOIS

conjuguées f (p^)» se déduisant de ^(p) par la substitution o'a=(p,p^). Si ç(p) est nul, il en est de même (§153, 1), de toutes les quantités conjuguées ^{pa)j ce qui démontre la propriété (a); si les quantités f (p^) sont toutes égales, leur valeur commune est un élément de û (§ 153, 4), ce qui démontre (6). Aux propriétés (a) et (6) on peut joindre cette troisième :

(c). Si une permutation tz des racines est applicable à toutes les relations rationnelles {en Q) entre ces racines, 7c appartient au groupe de Galois,

On peut alors définir le groupe de Galois comme V ensemble de toutes les permutations applicables à toutes les relations rationnelles {en û) entre les racines.

En effet (§ 150), on peut prendre pour p une fonction rationnelle (linéaire par exemple) des m quantités a, ai, . . ., a^^i, telle que les valeurs en nombre n(m) qu'on en déduit par la permutation des racines soient toutes distinctes. Si alors

est la résolvante de Galois de F(^) z=z o, elle admet p pour racine, et Ton a

Par hypothèse, p étant exprimé à Taide des racines a, on peut employer la permutation tc; si p se change en p^, on a donc

p^ est aussi racine de la* résolvante; la permutation tc correspond donc à la substitution (p, p^) du corps û(p); elle appartient donc au groupe de Galois.

De là encore Timporlaute proposition qui suit :

(rf). P étant un groupe de permutations des m racines a, qui possède les propriétés {a) et {b), P est le groupe de Galois de l'équation F(^) = o.

En effet, diaprés (c), chaque permutation de P appartient au groupe de Galois; P est donc certainement un diviseur de ce groupe.

Si P ne comprend que v permutations, appelons-les

Effectuons ces permutations sur p, ce qui donne

(6) pi, pj, ..., pv.

Appliquons une des permutations (5), ic^ par exemple, à une des quantités (6), p/par exemple^ le résultat obtenu sera le même que si Ton avait appliqué iziizji à p; soit p|- ce résultat. Par hypothèse P est un groupe; donc la permutation composée Tr/TTit appartient à ce groupe; donc p) est une des quantités (6). Mais (§ 153, 2) p|- est distinct de p^ dès que p/ diffère de p^. Donc les quantités

(7) pi» Pli •••» Pv

ne sont autres que ks quantités (6) dans un ordre différent. Le produit

g'(t)-=(t — pO{t-9t) ('-pv)

reste donc invariable, quand on fait les permutations du groupe P; par conséquent, puisque P a la propriété (6), ce produit est une fonction de t (rationnelle en û).

De plus g'(t) est un diviseur de g{t)] comme cette dernière fonction est irréductible, ^(/) coïncide avec §^{t)'^ donc v ne peut être inférieur au degré du groupe de Galois ; P est donc identique à ce groupe.

Si l'on choisit, comme précédemment, pour p une fonction rationnelle des racines a, de telle sorte que les valeurs, en nombre n(m),

Pi p > p > • • •»

obtenues parles permutations des racines, soient toutes distinctes, la fonction

est une fonction en û. Chacune des quantités p, p', p", . . « est un élément primitif du corps normal

N = û(3t, Xi, . . ., «/n-l);