CHAPITRE XIII. — LA THÉORIE DE 6AL0IS

chacune déciles est donc racine d*une résolvante de Galols de degré [x. Tout ensemble de [x de ces quantités forme le système des racines d'une telle équation. Il faut donc que G(^), qui n'a pas de racines égales, se décompose en facteurs irréductibles de degré [A ; d'où il résulte que |a est un diviseur de II (m). Ce nombre [A est aussi le degré du groupe de Galois de F(a:).

Lorsque le degré de la résolvante de Gaiois d'une équation de degré m atteint sa valeur maximum n(/n), on dit que l'équation n'a point d^affect (expression due à Kronecker). Elle a un affect d^autant plus grand que le degré u. de la résolvante de Galois est

plus petit^. Le quotient—'^ — ^ est toujours un nombre entier, au

plus égal à n(/w) et au moins égal à i ; on l'appelle le degré de V affect. Quand l'affect atteint sa valeur maximum II (m), les racines de l'équation sont elles-mêmes contenues dans le domaine de rationalité Û; l'équation est donc résolue.

Lorsque la résolvante de Galois devient réductible par l'adjonction à û d'une grandeur algébrique, on trouve une résolvante de degré inférieur; l'affect de l'équation F(a:) = o augmente. On approche ainsi de la résolution de l'équation.

La manière dont Galois a envisagé le problème de la résolution d'une équation F(^) = o consiste à diminuer progressivement le groupe par l'adjonction successive de grandeurs algébriques aussi simples que possible; on élève ainsi l'affect, jusqu'à ce qu'il atteigne sa plus grande valeur.

U équation générale de degré m a un affect nul dans le corps û formé par les fonctions rationnelles des coefficients

En effet, les coefficients ai, a^* •••) dmi considérés comme variables indépendantes, peuvent être représentés par les fonctions symétriques fondamentales des racines a, ai, . . .., (x^-k^ Soit g{t)\xn facteur irréductible de G(/), exprimé rationnellement en fonction des a, et nul pour ^ r= p ; en exprimant ai et p en fonction des racines, on obtient une équation identique ^(p)==o. Dans celle-ci on peut permuter à volonté les racines a, ce qui ne change pas les coefficients a, tandis que p devient successivement chacune des racines p, p', p" ..., de G(^). Le polynôme g{t) admet

donc toutes les racines de G(i), et coïncide par conséquent avec

§ 157. — Groupes transitifs et intransitifs*

La considération du groupe de Galois P va nous fournir un moyen très simple pour reconnaître si une équation F{x) = o est réductible ou irréductible.

Supposons que F(x) soit réductible et de degré m; $oiif(x) un facteur (en û) de F (a?), n son degré (n <C rn). Appelons

les racines de/(x);

les autres racines de F(x).

Si cl' est un des nombres (1) et a" un des nombres (2), il n'y a, dans le groupe P, aucune permutation qui change a' en a'^, sans

( ' ) Evariste Galois est mort en duel, en 1882, &gé de vingt ans à peine. Les premières indications sur la Théorie, qui porte aujourd'hui son nom, se trouvent dans un Mémoire intitulé : Analyse d'un Mémoire sur la resolution algébrique des équations, paru en iSJo dans le Bulletin des Sciences mathématiques j de Férussac.

Des indications plus détaillées se trouvent dans la célèbre lettre à Auguste Chevalier, écrite la veille de sa mort, et publiée dans la Revue encyclopédique de septembre i83a.

Ce n'est qu'en 18^6 que Liouvillc a fait imprimer, dans le tome XI de son Journal, tous leâ travaux de Galois déjà publiés, ainsi que quelques recherches trouvées dans ses papiers, entre autres l'important Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux.

Une édition allemande en a été donnée par M. Maser (1889, Berlin, Springer). On trouve aussi d'intéressants détails biographiques dans la Bévue encyclopédique de 1882; Liouville ne les a pas réimprimés et ils manquent aussi dans l'édition allemande. On trouvera des détails biographiques intéressants dans la Bévue encyclopédique de septembre 1882; Liouville ne les a pas réimprimés, cl ils manquent aussi dans l'édition allemande. Une biographie détaillée a été publiée par M. P. Dupuy dans les Annales de l'École Normale supérieure.

Mentionnons encore, parmi les écrits qui ont contribué à faire connaître cl à développer la théorie de Galois :

J.-A. Serret, Cours d'Algèbre supérieure, a' édit., i85/|; 4' édit., 1879. — Betti, Annali di Scienze fisiche e Matematiche; i853. — G. Jordan, Traite des substitutions; 1870. — E. Netto, Théorie des substitutions; Leipzig, i88a.