CHAPITRE XIII. — LA THÉORIE DE 6AL0IS
quoi (§ 156, a), on aurait /(a") = o, ce qui est contraire à notre hypothèse.
Les permutations du groupe P ne permutent entre elles que les racines (i) def{x) = o.
Réciproquement, si les permutations du groupe P ne permutent entre elles qu'une partie des m racines, par exemple celles du système (i), le produit
permet toutes les permutations du groupe P; donc (§ 156, 6), il est contenu dans û; donc F(a:) est réductible.
On dit qu'un groupe de permutations est transitif, lorsqu'il contient au moins une permutation qui transforme un élément quelconque en un autre élément quelconque; si, au contraire, les éléments peuvent se partager en deux ou plusieurs systèmes tels, qu'aucune permutation ïie transforme un élément de l'un des systèmes en un élément de l'autre, le groupe est dit intransitif.
On peut donc énoncer de la manière suivante la propriété précédemment démontrée :
1. U équation F(:r)= o est réductible ou irréductible suivant que son groupe de Galois est transitif ou intransitif.
Lorsque certains des éléments donnés forment un système tel, qu'un élément quelconque du système peut être transformé en tout autre du même système à l'aide' d'une permutation du groupe P, on dit que ces éléments sont liés transitivement. Les différents systèmes liés transitivement, que les différentes permutations de P ont pour effet de permuter entre eux, s'appellent les systèmes d'intransivité.
§ 138. — Groupes primitifs et imprimitifs.
Soit maintenant/(a:) = o une équation irréductible de degré /i; son groupe de Galois P sera transitif.
Appelons
(i) a, ai, «i, ..., «/i-t
les racines de /'(^).
Supposons le corps û(a) imprîmitif ; soit 6 = '/(a) un élément imprîmitif de ce corps; ses valeurs conjuguées se décomposeront en s systèmes de r quantités égales entre elles, telles que
n= rs (r>i,5</i);
les nombres (i) se décomposent alors en 5 systèmes de /• éléments que nous désignerons par
et l'on aura
(A) a, tti, . . . , tir-i,
(S) 7, ai, . , ., (Jr—ù
Ôl - X(P) = X(Pl)=---=X(Pr-l), • 1
6,-1 = xC«^) = Xi^i ) = •••= X(^'^» )î
les nombres 6, 64, ..., 9,i forment l'ensemble des valeurs conjuguées de 8. D'après ce qu'on a dit (§ ISl), la fonction
est une fonction (en û) irréductible, de degré s par rapport à /, ayant pour racines les quantités (3).
Des équations (3), il résulte que le groupe P est constitué de telle manière que ses différentes permutations ont pour effet de permuter entre eux les éléments d'une même ligne, ou bien les lignes entières A, B, . . ., S entre elles; donc, deux éléments d'une même ligne ne sont jamais remplacés par deux éléments de lignes différentes.
En effet, effectuons une permutation tz du groupe P; supposons qu'elle transforme a et ai en ^ et o*. On sait (§ 156, a) qu'on peut faire la permutation tz dans l'équation y/a) = ^(ai); il en résulterait y(p) = x(^)' ^^ V^^ ^^^ contraire à l'hypothèse que les valeurs (3) sont distinctes.
On appelle groupe imprimitif tout groupe de permutations P, tel que les éléments qui s'échangent entre eux puissent se distribuer en lignes renfermant le même nombre d'éléments, et qu'au*
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cune permutation ne puisse transformer deux éléments d^une même ligne en éléments de lignes différentes.
Les différentes lignes A, B, . . . , S s'appellent les systèmes d' imprim itivité.
On appelle groupes primitifs les groupes de permutations pour lesquels une telle décomposition n'est pas possible.
Il peut très bien arriver qu'un groupe soit imprimitif de plusieurs manières différentes; il possède alors des systèmes d'imprimilivilé entièrement distincts. C'est ainsi que le groupe des permutations cycliques de six éléments (i, 2, 3, 4, 5, 6) est imprimitif de deux manières; ses deux systèmes d'imprimitivité sont
A l'aide de ces déGnitions, on peut énoncer comme il suit la proposition qui vient d'être démontrée :
