Un corps imprimitif possède un groupe imprimitif

On déduit, de cette propriété, un résultat très important. Désignons par

une fonction rationnelle symétrique des r variables j:, x< , . , . , Xr-\ ; posons

il s'agit de démontrer que o> est une fonction rationnelle de 0, c'est-à-dire est contenu dans le corps û(9). En effet, la fonction

.('<i^.*ai;--7^)=*<"

est une fonction rationnelle entière de t^ dont les coefficients sont des fonctions rationnelles des racines a, ai, . . ., a;2-u ces fonctions restent invariables quand on fait une permutation du groupe P; celte permutation, en effet, laisse invariables lesquan-

lilés (ù, OU les permute entre elles de la même manière que les nombres 0. Donc (§ 156, b) ces coefficients appartiennent au corps Û. Si maintenant, dans (5), on remplace l'indéterminée t par 6, il vient, puisque ?'(6) est différent de zéro,

Appliquons ce résultat aux coefficients du produit

(7) (m — a)(M — ai)...(a— ar-i) = ?(tt, B),

U étant une variable; cette fonction, de deg^é r, admettant pour racines a, ai, . . ., a^o s'exprimera rationnellement en fonction de 6.

Il en résulte que le nombre a, racine d'une équation (en û) de degré n, est aussi racine d'une équation de degré r, dont les coefficients dépendent rationnellement d'une racine d'une équation de degré s. Une équation /(a:) = o, dont une racine a possède cette propriété, est dite une équation imprimitive.

On peut donc dire ;

2. Le corps imprimitif Q^ol) de degré n se transforme, par V adjonction du corps û'= û(6) de degré s, en un corps û'(a) de degré r.

Examinons encore si l'imprimitivité du groupe est une condition suffisante pour l'imprimitivité du corps; en d'autres termes, si l'on peut toujours trouver des éléments imprimitifs dans un corps Q(a) dont le groupe est imprimitif.

Soit /(a:) = 0 une équation de degré /i, à groupe imprimitif; prenons pour racines de cette équation les nombres (i); ces nombres peuvent être décomposés en systèmes (a) tels que les éléments de ces systèmes ne se séparent pas quand on fait une permutation du groupe P.

Choisissons une fonction symétrique ^(^, X\^ . . ., Xr«i) telle que les nombres

!7= 4;(a, a,, ..., «r-i ), y\ = H^y Pi» •••> ?r-i),