CHAPITRE XIII. — LA THÉORIE DE GALOIS

soient tous distincts. Pour montrer que ce choix est possible,

posons

( ^t, S) = (t ^ a)(t - a,). . .(t —<Jr-,);

on sait alors (§43, 1) qu'il existe une valeur rationnelle de ^, telle que les valeurs de ces quantités soient toutes distinctes; ce seront les valeurs des quantités y.

Soit u une variable indépendante; posons

(lo) ?(") = ("— J^)(w—^i)...(w— 7,-,);

les coefficients de f{u) restent invariables quand on fait les permutations du groupe P; c'est donc une fonction (ca û) admettant pour racines les quantités^.

Elle est, en outre, irréductible; car, le groupe étant supposé transitif, il en résulte que, si une fonction rationnelle de ^ admet pour racine une des quantités (8), elle les admet toutes.

(0 étant une fonction symétrique de a, a^, . . ., a^<, considérons l'expression

c'est une fonction rationnelle de u (en 0); en faisant u =JK> nous en conclurons comme ci-dessus que w peut être exprimé rationnellement en fonction de^; il en est donc de même de

(il) tK^A) = ^;(^Jr)

admettant pour racines a, ai, . • ., a^.i.

L^équation i^{t^ A) = o est irréductible dans le corps û(^). En effet, soit if^ {t^ y) un diviseur rationnel de ^{tfy)j tel que

le groupe étant transitif, on pourra trouver une permutation qui transforme a en un élément quelconque de la ligne A, ce qui ne change pas^. Donc chaque racine de ^{t^y) est en même temps racine de ^i(^} y)\ ces deux fonctions sont donc identiques. W. 36

L'équation f{x) = o est donc imprimitive, au sens de la définition précédemment donnée; une racine a de cette équation peut être considérée comme racine d'une équation de degré r, dont les coefficients dépendent de la racine y d'une équation de degré 5.

Pour démontrer que le corps û(a) est imprimitif (§ 151), il suffit de prouver qu'il existe dans û(a) des éléments qui vérifient une équation de degré s. Nous allons montrer que j/- est un de ces éléments, c'est-à-dire que j^ peut s'exprimer en fonction rationnelle de a.

D'après (11), on a

tandis que ^(a, j^<), ^(«,^'2)» • - ? 'i'(*î J^j-0 sont différents de zéro. Si, en effet, '}(a, y^ ) était nul, a serait racine d'une équation de degré r

qui possède déjà les^racines p, pi, ..., |3^..| différentes de a. Donc les deux équations

(i3) ^Ka, w) = o, cp(u) =0

ont une seule racine commune u:=y. Le plus grand commun diviseur de ces deux fonctions est donc linéaire par rapport à «; il donne y rationnellement en fonction des coefficients de ç(w) et <j^(a, w), c'est-à-dire en fonction rationnelle de a. Nous avons ainsi prouvé la réciproque du théorème I :