AUX ÉQUATIONS

§ 159. — Effet produit par les groupes de permutations sur une fonction de variables indépendantes.

Les résultats du paragraphe précédent montrent qu'une compréhension plus profonde de l'Algèbre exige une élude détaillée des groupes de permutations. Nous établirons d'abord à leur sujet quelques propositions générales, qui serviront de base à tout ce qui suivra (*).

Soient

un système de variables indépendantes, et

(2) ^(U, M|, Mj, ..., Um-l)

une fonction rationnelle et entière de ces variables, dont les coefficients appartiennent à un corps arbitrairement donné.

Deux telles fonctions di sont* égales, lorsque, en les supposant ordonnées par rapport aux produits et aux puissances des variables Uj les termes correspondants ont des coefficients égaux.

(^) Pour la théorie des permutations, il faut mentionner particulièrement : Cauchy, Journal de l'École Polytechnique, cah.X; i8i5. (Plusieurs Mémoires.) C. Jordan, Traité des substitutions et des équations algébriques ; Paris, 1870. Nbtto, Théorie des substitutions et de leur application à l* Algèbre; Leipzig, i88a.

Si nous effectuons une permutalion tu sur les indices des variables w, ou, ce qui revient au même, sur les variables u ellesmêmes, la fonction u peut changer ou bien rester invariable. Dans ce dernier cas, nous dirons qu'elle permet la permutation iz. Si elle permet toutes les permutations possibles, au nombre de II (m), elle est symétrique et peut s'exprimer à Taide des fonctions symétriques fondamentales (§ 48). L'autre cas extrême est celui où les II(/n) valeurs delà fonction sont différentes. En général, certaines permutations laisseront la fonction ^ invariable, d'autres la feront changer. Établissons à ce sujet le théorème suivant :

1. L'ensemble de toutes les permutations des variables w, Wi, ^2) •••7 «/»< î qui laissent invariable une fonction <t(w, Usj . . ., Um^\ )î forme un groupe.

Pour le démontrer, supposons que tî soit une de ces permutations, ce que nous indiquerons par

Les variables u étant indépendantes, cette identité restera vraie, quand on soumettra ces variables à une permutation tI. Effectuer la permutation v! dans ij^ revient à effectuer la permutation composée TîTi' sur ^, On a donc

si donc on aura

En d'autres termes, si les permutations t: et tu' laissent la fonction if invariable, il en est de même de la permutation Tcn'. En se reportant à la définition du groupe, le théorème est démontré.

Nous avons ainsi un moyen pour former des groupes de permutations; il suffît de prendre une fonction de m variables et de chercher toutes les permutations qui laissent cette fonction invariable. Nous verrons plus tard que l'on peut former ainsi tous les groupes de permutations.