CHAPITRE XIY. — APPLICATION DES GROUPES DE PERMUTATIONS

un groupe de permutations de m éléments, ti l'une quelconque d'entre elles; le système

(Pi) 'î^l» ^ '^Ij T^ T^Xi

est identique, à V ordre près, au système proposé.

£d effet, les permutations de Pf sodI en nombre égal à celles de P; ces dernières formant un groupe, toutes celles de P| figurent parmi celles de P (§ 155, 3). En outre, les permutations de P| sont toutes distinctes (§ 155, 2). Donc P est identique à P,, à l'ordre près.

On montrerait, de même, que le système

( I I ) TCl 7C| ICt 1t I "Kl 7t j • • •

est identique à P.

3. Tout groupe de permutations contient la permutation identique.

En effet, le système P< doit renfermer tz^ lui-même; comme -Kqtz^ = TTi (§ 155, S), TCo n'est autre que la permutation identique.

4. Les permutations d'un groupe P sont deux à deux inverses l'une de l'autre»

En effet, d'après 3, P| contient la permutation identique tcq* Celte permutation a dans P< la forme luii ; donc 7c= «y*. D'ailleurs 1^1 est une permutation quelconque de P.

Lorsqu'aux variables u^ {/«, . . ., Um-i, on substitue des quantités déterminées a, ai, . . ., ctm-it q"î peuvent être des nombres ou des éléments d'un corps quelconque, le théorème 1 n'est plus vrai dans toute sa généralité.

Prenons par exemple m = 3; assujettissons les quantités a, a^,

aa à la relation unique

2^1= a-4-ai;

la fonction ai — aj ne reste invariable que si l'on fait la permutation identique et la permutation

566 LIVRE m. — LES GRANDEURS ALGÉBRIQUES.

Mais ces deux permutations ne forment pas un groupe; car, si l'on répète encore une fois la dernière, on trouve'

qui n'est identique à aucune de ces deux permutations. A ces fonctions se rapporte le théorème suivant :

5. Soit P un groupe de permutations de m indices; a, ai, . . ., oLfn^i des grandeurs quelconques distinctes; il existe des /onctions rationnelles des quantités ol^ ayant même des coefficients-rationnels, qui ne changent pas quand on effectue sur les OL une permutation du groupe P; qui changent au contraire quand on effectue une permutation n^ appartenant pas à ce groupe.

Pour le démontrer, prenons une fonction

comme celle considérée au § 150, qui prend U(m) valeurs distinctes, quand on permute les quantités a de toutes les manières possibles.

Désignons par

^0 P) Pl» •••> PjJL-l

les valeurs que prend p, quand on effectue sur les a les permutations d'un certain groupe P; d'après le théorème 2, ces valeurs s'échangent entre elles, lorsque l'on effectue sur toutes à la fois une permutation tti du groupe P. Car eflectuer la permutation iz^ sur toutes les fonctions (i) revient à effectuer sur p les permutations du système P< . Mais, d'après 2, P est identique à Pi à l'ordre près.

La fonction

(^) <' = (^ — pX' — pi), ...(<-p|i-t).

dans laquelle t est une variable, demeure donc invariable quand on effectue une permutation quelconque du groupe P.

Si maintenant une permutation, non contenue dans P, trans-

CHAPITRB XIY. — APPLICATION DBS GROUPES DE PERMUTATIONS. 567

forme les quantités (i) en

la valeur p' ne figurera certainement pas parmi les grandeurs (i) ; la fonction

'!'i = ('-p')(^-p'i)-..('-pti-i)

n'est pas identique à ^. Par conséquent on peut trouver pour t une valeur rationnelle telle que ^ soit distincte de toutes les fonctions formées d'une façon analogue à <{;«.

Il va de soi que toutes ces considérations conservent leur valeur, quand on remplace les grandeurs a par des variables indépendantes.

Une fonction qui permet toutes les permutations d'un groupe P, qui change au contraire quand on fait une permutation n'appartenant pas à ce groupe, est dite une fonction appartenant au groupe P.

Au groupe Po qui comprend toutes les permutations de m indices appartiennent toutes les fonctions symétriques. On l'appelle pour cette raison le groupe symétrique.

Une fonction p, appartenant au groupe formé par la seule permutation identique, peut servir à désigner sans ambiguïté les permutations; car il n'existe qu'une permutation t:! qui transforme p en p'. On peut donc employer pour cette permutation le symbole

les permutations des m indices sont alors désignées sans ambiguïté par

(P»P)» (p)p')i (pip')» ••••

§ 160. — Décomposition des permutations en transpositions

et en cycles.

Nous avons déjà eu occasion de montrer dans le Chapitre II, à l'occasion des déterminants, comment on peut former une permutation par une suite de transpositions, c'est-à-dire d'échanges de deux indices seulement.

Nous noterons ces transpositions en plaçant Tun à côté de l'autre les deux indices échangés; ainsi (o, i) désigne l'échange des indices o et i.

Une transposition, répétée deux fois, conduit à une identité; chaque transposition est donc inverse d'elle-même.

Soit

une permutation quelconque de m indices; la permutation

laisse m — i invariable, et peut être représentée par

/ o, I, 2, .... m — 2 \ \boj bi^biy . .. , b„i-i / '

c'est donc une permutation de m — i indices au plus. Comme d'autre part

Ti = 7Ci(/n — I, a,«-i),

il en résulte, par une généralisation facile, que :

i. On peut décomposer chaque permutation (et cela d'une inanité de manières) en transpositions.

On en conclut :

2. Lorsqu'un groupe de permutations de m indices contient toutes les transpositions

il est identique au groupe symétrique.

En effel, l'identité

montre que le groupe contient aussi toutes les autres transpositions; d'après le théorème 1, on peut former avec elles toutes les permutations du groupe symétrique.

Une permutation tz est dite cyclique, lorsque les indices peuvent se ranger dans un ordre tel, que cette permutation tz