CHAPITRE XIY. — APPLICATION DES GROUPES DE PERMUTATIONS

remplace chaque indice par le suivant et le dernier par le premier; ainsi, par exemple,

une notation plus simple de ces permutations consiste à ranger à la suite Tun de l'autre les m indices du cycle :

Le nombre par lequel on commence est indiiTérent; on écrira

aussi bien

Nous démontrerons maintenant le théorème suivant :

3. Toute permutation izpeut se décomposer en une suite de permutations cycliques, telles que deux de ces cycles n^ont pas de nombres communs; cette décomposition ne peut se faire que d'une seule manière.

Considérons la permutation

\ ^0» ^1» ûtj, .... (l,n-\ }

commençons par un nombre quelconque, par exemple o, et faisons-le suivre chaque fois de son transformé

(2) o, a^— b, ab— c.

et continuons ainsi jusqu'à ce qu'on rencontre pour la seconde fois un des nombres écrits. Ce nombre devra être o, puisque dans la suite (a) chaque nombre est déterminé sans ambiguïté par celui qui le précède. Les nombres

forment un premier cycle. Si les m nombres (i) ne sont pas épuisés, on en prend un parmi ceux qui restent, et Ton continue ainsi jusqu'à ce que chacun des m indices fasse partie d'un cycle. Dans chacun de ces cycles les nombres qui précèdent et qui suivent un nombre du cycle sont déterminés sans ambiguïté par (i); il en est donc de même des différents cycles.

Dans la rcprésen talion de 17 par les différents cycles, on peut non seulement ranger les cjcles dans un ordre quelconque; on peut commencer chaque cycle par un quelconque des nombres qui le forment. Un indice qui ne change pas forme un cjcle à un terme.

Voici des exemples quelconques qui feront comprendre le procédé :

Placer les cjcles Tun à la suite de l'autre indique que Ton doit composer les permutations; il est à remarquer que l'on peut échanger des permutations qui n'ont pas de nombre commun.

On néglige souvent, dans la notation, les cjcles à un terme, qui ne produisent aucun changement.

La considération simultanée des transpositions et des cjcles en lesquels on peut décomposer une permutation donne une raison de la division des permutations en deux classes, que nous avons déjà fait connaître dans le Chapitre II, à l'occasion des déterminants.

Soit T une transposition et tz une permutation quelconque; dans la permutation composée ttt le nombre des cycles est supérieur ou inférieur d'une unité au nombre des cycles de it. Les deux nombres, échangés par t, peuvent se trouver dans le même cycle de ir ou dans deux cycles distincts. Supposons que tc renferme le cycle

que T renferme deux indices de y, soit x = (i, a); on aura

TY = (r,a-{-i, ...,6)(2,3, ...,a);

c'est-à-dire que la composition de t et de y si pour effet de décomposer y en deux cycles, sans que les autres cycles soient changés.