CHAPITRE XIV. — APPLICATION DES GROUPES DE PERMUTATIONS
Supposons maintenant que les deux indices de t figurent dans deux cycles distincts de 7t,
et soit T = (i, i'); on a alors
'YY'= ('» 2', 3',. . ., a', i', 2, 3, . . ., a);
la transposition t a pour effet de réunir les deux cycles y et ^ en un seul, sans que les autres cycles soient changés.
Soit donc 7t une permutation de m indices, composée de v cycles, y compris les cycles à un terme; supposons que l'on puisse la représenter par |x transpositions. Si on la compose avec ces [x transpositions prises en ordre inverse, on trouve la permutation identique, composée de m cycles à un terme. On a gagné en tout m — V cycles; à l'emploi de chaque transposition correspond un cycle gagné ou un cycle perdu ; il en résulte
{JL^ /w — V (mod.2).
En d'autres termes, |x est un nombre pair ou impair, suivant que m — V est pair ou impair. Mais ce dernier nombre ne dépend que de la permutation tt et non de la manière de la décomposer en transpositions. On peut donc énoncer celle proposition :
4. Les permutations de m nombres se partagent en deux classes, dont Vune se décompose en un nombre pair, Vautre en un nombre impair de transpositions.
Chacune de ces classes contient le même nombre de permutations, savoir ■; car chaque permutation change de classe par
la composition avec une transposition déterminée.
La composition de deux permutations de même classe donne toujours une permutation de première classe, tandis que celle de deux permutations de classes différentes donne une permutation de seconde classe; cela résulte évidemment de la décomposition en transpositions. Donc :
5. Les permutations de première classe forment un groupe. Appelons fonction alternante une fonction de m variables
iiof U\, • • • 7 </in-i OU de m quantités distinctes ao, ai, . . . , a^-i) qui change de signe quand on échange deux des variables. Tel est le produit des différences
(Uo— Ui)(Uo—Ut) ... (Mo— Mm-l) (Ui—Ui) ... (Ui—Um-i)
Une permutation de première classe laisse cette fonction invariable, tandis qu'une permutation de seconde classe la fait changer de signe.
Les fonctions alternantes appartiennent donc au groupe des permutations de première classe.
De même que nous avons appelé groupe symétrique celui auquel appartiennent les fonctions symétriques, de même nous appellerons groupe alternant le groupe des permutations de première classe, auquel appartiennent les fonctions alternantes. Le groupe, formé par la seule permutation identique, est dit le groupe identique ou encore le groupe unité.
Une permutation cyclique de n indices peut être décomposée en 72 — I transpositions, ainsi qu'on le voit par la formule
une permutation cyclique appartient donc à la première ou à la seconde classe suivant que le nombre des indices est impair ou pair.
De même que Ton peut former une permutation quelconque en composant des transpositions, on peut composer une permutation quelconque de première classe à l'aide de cycles à trois termes. Il suffit de le démontrer pour tout couple de transpositions, puis- • qu'une permutation quelconque de première classe se compose de tels couples. Or on a
notre proposition est donc vraie puisque les deux transpositions d'un même couple ne peuvent avoir qu'un indice commun ou aucun. Donc :
