Loi*squ^ un groupe transitif de permutations de m indices

contient une seule transposition, ce groupe est identique au groupe symétrique, ou bien il est imprimitif.

Soient P le groupe donné, o, i, â, . . • , m — i les m indices soumis à la permutation; supposons que ce groupe contienne la transposition (o, i); il peut d'ailleurs contenir aussi les transpositions (o, 2), (o, 3), . • . , (o, |x — i), mais aucune autre transposition avec l'indice zéro.

Si |JL = m, le théorème 2 prouve que P est identique au groupe symétrique.

Si |x<;/w, P contient, d'après le même théorème, toutes les permutations des indices o, i, 2, . . ., [x — i (système M). Il en résulte que P ne peut contenir aucune transposition des indices o, 1 , 2, . . . , [A — I avec un autre nombre, par exemple p.. Si en effet P contenait (i, u), il contiendrait aussi

(o, [i) = (o, l)(l,fl)(0, l),

ce qui est contraire à l'hypothèse.

Le groupe P étant transitif, il contient au moins une permutation 17 qui transforme o en un indice n'appartenant pas au système M^ par exemple en [x. Cette permutation tc ne peut transformer aucun des nombres du système M en un autre nombre de ce système. Si, en effej, elle transformait i en r, le groupe P contiendrait la permutation

ir-»(o, 1)11 = (fi, r).

transposition qui ne peut figurer dans P comme nous l'avons vu. Donc les permutations du groupe P échangent entre eux les divers nombres du système M, ou bien les transforment en nombres d'un système différent M'; par suite, P renferme aussi toutes les permutations des nombres M'.

Si M et M' n'épuisent pas encore tous les nombres donnés, il existe dans le groupe P une permutation qui transforme M en un autre système M'', qui ne peut avoir aucun nombre commun ni avec M ni avec M'.

Soit, en effet, a un quelconque des indices o, i, 2, . . ., /i — i; a-ïc et o^c' les indices en lesquels les permutations tz et tt' transforment a; o^^ est alors ce que devient cx^ par la permutation r!