CHAPITRE XIV. — APPLICATION DES GROUPES DE PERMUTATIONS. SyS
OU a par in:'. Si donc a, p, y? • • • sont les nombres du s^slème M, on aura
Si le nombre a^'= y^c ^st contenu dans M', le nombre a^,ç-t = y est contenu dans M; par suite ^^^,;-l=S est également contenu dans M, puisque la transposition (y, 5) figure dans P. Par conséquent, on a 0Lre'=Yic, Pir=8it; ce qui signifie que si l'un des nombres de M" est contenu dans M', M" et M' sont entièrement identiques.
L'ensemble des indices o, i, 2, ..., n — i se décompose en systèmes M, M', IW, ..., dont chacun contient m nombres, lesquels sont permutés imprimitivement par P; le groupe P est donc imprimitif.
Si n est un nombre premier, il n'y a pas de groupe de permutations imprimitif; dans ce cas, un groupe transitif qui contient une transposition est identique au groupe symétrique.
Par un raisonnement tout à fait analogue on conclut du théorème 7 la proposition suivante :
10. Lorsqu^ un groupe de permutations transitif de n indices contient un cycle à trois termes, il contient tout le groupe alternant, ou bien il est imprimitif.
Supposons que le groupe P contienne les cycles à trois termes
et n'en contienne aucun autre renfermant les nombres o et i^ d'après le théorème 7, il contient tout le groupe alternant des indices o, i, 2, .. ., m — i. Si m est inférieur à /i, P ne peut renfermer aucun cycle à trois termes formé de un ou deux des nombres de M et d'un autre nombre.
En effet, si P contient par exemple (o, /n, m -h 1), il suffit de remarquer que
il contient donc aussi (i, /w, m -i-i). . .(m — i, m, m-i- i), et par conséquent, d'après 7, il contient tout le groupe alternant des
indices o, i, 2, . . ., m -h 1 , ce qui est contraire à l'hypothèse. Par conséquent, les n nombres se décomposent en plusieurs systèmes d'imprimitivité M, M', M", ....
On peut encore ajouter la proposition suivante :
1 1 . Lorsque le cas de Vimprimitivité se présente, le groupe P contient, dans le cas 9, tout le groupe symétrique; dans le cas 10, tout le groupe alternant pour chaque système particulier d^ imprimitivité,
La composition répétée d'une permutation avec elle-même se désigne par la notation des exposants, tz étant une permutation quelconque, on obtient ainsi
11^, ir', tt', ...,
tc"=: I représentant la permutation identique; parmi ces permutations on retrouvera nécessairement la permutation donnée. L'égalité 111*= 7îl^+* donne évidemment tz^-=zi. En désignant par r le plus petit exposant positif pour lequel on a ir^= 1, on voit que les permutations
sont toutes distinctes; elles se répètent périodiquement dans la suite
La suite (4) s'appelle la période de la permutation 7t, el e s'appelle le degré de u. La période de tc forme un groupe, puisque la composition de deux de ses éléments donne un autre élément de la période.
Soit 7r une permutation cyclique
ir = (o, I, 2, . . .. 71 — i); on aura, pour /ipair,
et pour n impair
're*= (o, 2, 4» . . ., /i — i) (i, 3, . . ., /i — -2); dans les deux cas le degré de tz est égal à n.
