o) (i)(2, 3, 4), •ïr» = (o, 0(2, 4,3), 7c«=i

Lorsqu'un groupe P contient la permutation tc, il contient toute la période de tc.

§ 461. — Diviseurs des groupes. — Parties associées

et groupes conjugués.

Nous avons vu au § 159 qu'une fonction de m variables indépendantes détermine toujours un groupe de permutations de m indices; mais ce cas pegt ne pas se présenter lorsque Ton substitue aux variables indépendantes des quantités déterminées. La théorie de Galois permet de supprimer cette distinction, ou du moins de la ramener au plus petit nombre de cas possibles.

Soit F(x) = o une équation de degré m, dans un corps Q ; soient a, ai, ..., oLm^t ses racines supposées distinctes. Appelons N le corps normal û(p),

û(p) = û(a, a,, ..., cLm-i).

Le groupe de Galois du corps N ou de l'équation F(x) = o est représenté (§ 153, 154) par le groupe des substitutions du corps N, ou encore par le groupe de permutations des indices des racines a, isomorphe au précédent.

Soit/? le degré de P; désignons par

(1) (P) TZf TCi, TUf, ..., TZp^i

les opérations du groupe P (que ce soient les substitutions de N ou les permutations des racines a). Soit

(2) (Q) Xj, X2, ..., Xç-,

un système de permutations contenu dans P et formant un groupe ; on dit que Q est un diviseur ou un sous-groupe de P.

Démontrons d'abord une proposition générale très importante W. 37

sur les diviseurs d'un groupe. Supposons le degré q du diviseur inférieur au degré /? de P; prenons un élément iti de P non contenu dans Q et formons le système

(3) (Q«i) >t'ït|, Xiir,, x,7u,, ..., x^-,7:i,

que nous représentons par le produit symbolique Qit| ; les éléments de (3) sont différents les uns des autres, ainsi que des éléments de (2); car l'égalité X|7w| = X2'rei entraînerait X| = X2; et Tégalité x = X|7ri entraînerait 7C| =x7'x, égalité impossible, puisque 111 n'appartient pas au groupe Q. Les éléments de Qi^i ne forment pas un groupe, sans quoi on jurait

OU bien

ir, = x7»x3x^»,

ce qui exigerait que 7t| fît partie de Q.

Le système Qtti s'appelle une partie associée à Q (Nebengruppe) (intérieure à P). L'ensemble de la partie associée ne change pas quand on remplace 7C| par un élément xtt, de Q ; car Qx est identique à Q.

Appelons, en général, partie associée tout système Q?:, en y comprenant Q; on peut montrer que deux, parties associées sont identiques ou bien n'ont aucun élément commun. En effet, soient Qtti et Qn^ deux parties associées; supposons que XiiTi =:x2 7r2, X| ct X2 étant deux éléments de Q. Il résulte de là, en posant x = x~ * X| , que l'on a

D'autre part, x appartient à Q, et par suite Qx est identique à Q; donc

Si les éléments (2) et (3) ne comprennent pas tous les éléments du groupe P, on peut encore former une autre partie associée Qiîj, et continuer ainsi, jusqu'à ce que P soit entièrement décomposé en parties associées. Comme chacune de ces parties contient v éléments, nous conclurons de là ce théorème fondamental dA à Cauchy :