CHAPITRE XIT. — APPLICATION DES GROUPES DE PERMUTATlOiNS
1. Le degré (Vun diviseur d'un groupe P est toujours un diviseur du degré de P.
Il en résulte, comme cas particulier, que le degré d'un élément du groupe (§ 160) est toujours un diviseur du degré du groupe.
La décomposition de P en parties associées se représente (d'après Galois) par Téquation symbolique
(4) P = Q-hQTri + Q-ir,-f....+ Qiry-„ à condition que
(5) P=jq'
Le quotient j s'appelle Vindice du diviseur Q. Ce nombre n'exprime aucune particularité du groupe P; il caractérise simplement la relation entre Q et P.
Nous venons de voir que deux parties associées à Q sont entièrement identiques ou bien n'ont aucun élément commun ; nous pouvons donc énoncer le théorème suivant :
2. Soit Tz une permutation quelconque de P, le système des parties associées
ne diffère que par V ordre des éléments du système
Nous appellerons aussi parties associées les systèmes de la forme irQ, et nous pourrons aussi décomposer P en systèmes de cette espèce. En particulier, la décomposition (4) fournit la seconde décomposition
p = Q -+- «7* Q -H irî» Q -h. . . 4- Tcjii Q.
Si en effet icj ne figure pas dans Q, il en est de même de iry* \ 7t^*Q est donc une première partie associée. Si 7^2 ne figure pas dans QiTj , 7c~* ne figurera pas dans ^7* Q; car l'égalité tî^* = tz~^ x entraînerait 7Î2 = x"' 11 1, etc.
Nous donnerons néanmoins la préférence à la décomposition (4), à cause de sa signification au point de vue du problème algébrique.
58o LITRE III. — LES GRANDEURS ALGÉBRIQUES.
Nous dirons qu'un élément ^|; du corps N appartient au groupe Q (en ajoutant, si besoin, à V intérieur de P) lorsque cet élément ^ reste invariable sous Pinfluence d'une opération du groupe Q, mais change, au contraire, lorsqu'on le soumet à une autre opération du goupe P. On voit que cette définition est un peu plus étendue que celle donnée au § 159, en ce sens que les permutations, non contenues dans P, ne sont pas prises en considération. Les deux définitions coïncident lorsque P devient le groupe symétrique.
Cette définition posée, voici quelques propositions très générales :
3. A chaque diviseur Q rfc P appartiennent des éléments de N. Chaque élément de N appartient à un diviseur déterminé Q de P.
La première partie de ce théorème a déjà été démontrée (§ 159^ 5). Si, en effet, une fonction des éléments a à l'intérieur du groupe symétrique appartient à un groupe Q, elle appartient aussi à Q, à l'intérieur de tout autre groupe P dont Q est un diviseur.
La seconde partie résulte des propriétés fondamentales du groupe de Galois. Pour le voir, employons la notation suivante : Faisons sur une fonction i^ du corps N une permutation ??, et soit i^{T^) le résultat; si l'on effectue sur ^{t^) la permutation II', le résultat est le même que si l'on avait effectué sur ^ la permutation Composée ttî:' ; on a donc
(6) ^{'tz){iz') = ^{i:'k').
Si la permutation x laisse ij invariable, on a
et, dans cette formule, on peut (§ 156, a) employer toute permutation du groupe P. Il en résulte
Si donc^(7:) est aussi égal à tl, il en sera de même de •}(xt:); donc les permutations qui laissent ^ invariable forment un groupe. c. Q. F. D.
