CHAPITRE XIY. — APPUCATION DES GROUPES DE PERMUTATIONS

^ étant une fonction (en N) appartenant au groupe Q, on a donc

(7) q.(x)=4;(xO=...= 4^(x,,) = 4;;

iii étant une permutation non contenue dans Q, il en résulte

tl, étant différent de ^. Inversement, si, pour une permutation quelconque tz, on a

(8) t|.i=^(^) = ^(x7rO,

la permutation tc fait nécessairement partie de Tensemble

(9) (Q^i) >t«i, ^iT^u .-., îCv-iiri;

car si l'on effectue la permutation 7t~* sur (8), on voit que xTCi-re"' est contenu dans Q, et, par suite, est égal par exemple à Xj ; il en résulte

contenue, en effet, dans le groupe (9).

On peut donc énoncer la proposition suivante :

4. Une /onction ^ appartenant ^ Q 5e transforme en une fonction <{/, différente de ^ par toutes les permutations d^une partie associée Qu, et cette transformation ne peut se faire par aucune autre opération du groupe P.

D'après cela, il correspond aux j parties associées un nombre égal de fonctions i/

du théorème 2 découle alors le suivant :

5. Les grandeurs {10) se permutent entre elles quand on les soumet simultanément à une même opération du groupe P.

En effet, nous pouvons représenter les grandeurs (10) par effectuons sur elles l'opération u, elles deviennent

X el TT sont des permutations quelconques, appartenant respectivement à Q et à P, Dans chacune des deux suites

X, X7C|, • « '1 XITy^iy

XTT, XITiir, •••) XTTy— i7C,

figure une permutation et une seule de chacune des parties associées (4); ce qui démontre la proposition.

Les fonctions (lo), toutes distinctes, comme nous Pavons vu, sont dites fonctions conjuguées.

D'après ce qui précède, on peut former aisément les groupes, auxquels appartiennent les différentes fonctions (lo). Supposons que tj^, = ij^(7î,); soit ti une permutation de P qui laisse ^i invariable, on aura donc

i]^(7r,7r)==^;(ir,).

Effectuons sur cette équation l'opération -n"^* ; il en résulte

donc 7Cf7C7r~* appartient nécessairement à Q. Désignons celle opération par x; il en résulte que

(il) 71 = -Try^xi:,.

Réciproquement, si une opération ic est de cette forme, on a

i(^ permet donc la permutation u. On peut donc désigner le groupe auquel appartient i(x par le symbole

c'est effectivement un groupe, ainsi que cela résulte de l'égalité