CHAPITRE XIV. — APPLICATION DBS GROUPES DE PERMUTATIONS

gués (*) les différents groupes

auxquels appartiennent les fonctions conjuguées.

Tz étant une permutation quelconque de P, c'est-à-dire de la forme xitr, le groupe 7c~*Q7c est l'un des groupes conjugués (12); c'est le groupe

Déduire tc"*Qtc de Q s'appelle transformer le groupe Q par Tt; ce groupe s'appelle le groupe transformé de Q.

Les permutations des groupes conjugués se forment par cette règle très simple :

6. On obtient la permutation if^xTc en effectuant dans les cycles de x la permutation tz.

Pour le démontrer, supposons x décomposé en cycles

et soit

\*iri PiTi Yit' • • • » *«» r«» Y'ï» • * •/

L'opération ir~* transforme a^ en a; x transforme a en p, et 7t transforme ^ en P^; donc 7i~* xit transforme 0,^ en Pu* Le même raisonnement étant applicable à ^^c) Yic» etc., il en résulte

i:-ix7r = (a^, P«, Y^i . • ■ ) (otc» Ptc, Y«i •••)»

ce qui démontre la règle 6.

Nous pouvons faire usage de la décomposition en parties assoc iées pour la démonstration du théorème suivant :

7. Le degré d^un groupe transitif de permutations de m nombres est toujours un multiple de m.

En effet, toutes les permutations de P qui laissent l'indice o invariable forment un diviseur Q de P. En outre, puisque le

(^) On emploie aussi le nom de sous-groupe équivalent (gleichberechtigt).

groupe est transitif, il existe dans P des permutations TC|, tcs, '^m-i qui transforment o en i, 2, . . ., m — 1 : on a donc

P = Q-i-Q7t,-t-Q7t2-t-...-4-Qir;„r, donc le degré de P vaut m fois celui de Q.

§ 162. — Réduction de la résolvante de Galois par radjonction d'une grandeur algébrique. Diviseurs normaux d'un groupo.

Nous avons maintenant à nous occuper des réductions successives que peut subir le groupe d'une équation donnée, par l'adjonction de certaines grandeurs algébriques.

Appelons, comme au paragraphe précédent, P le groupe de Galois, de degré/?; Q un de ses diviseurs, de degré q et d'indice y ; ^ une fonction des racines appartenant à Q; enfin

les grandeurs conjuguées.

Démontrons d'abord le théorème suivant :

i. Les grandeurs conjuguées sont racines d'une équation de degré j\ irréductible en û.

Soit, en effet, ^ une variable ; la fonction

reste invariable (§ 161, 5) quand on la soumet à une des permutations de P; par conséquent, les coefBcients de la fonction o(/), admettant pour racines les quantités (i), sont des éléments de û (§ 1S6, b).

Pour démontrer que ^(t) est irréductible, supposons que ^{t) soit une fonction (en û) qui s'annule pour f = ^; on aura ^(^p) = o. Cette équation reste vraie, lorsqu'on la soumet à toutes les permutations du groupe P; il en résulte que *^(^i), .--, <^('}y i) sont aussi nuls; donc ^{t) est divisible par ^(t). Cette propriété prouve justement que <p(/) est irréductible.