II. ^etW étant deux fonctions quelconques, on a

Ces propositions sont des conséquences immédiates de la formule (4)*

Il nous sera donc facile de former les dérivées dans le cas général, si nous savons les former pour le cas particulier dans lequel ^ est un produit de puissances, c'est-à-dire si nous connaissons

formule dans laquelle les nombres a sont des exposants quelconques non négatifs. Or on a

et, par suite,

|(ari 4- îi)*i(a?, -4- î,)"> • • • (^m -+- ^rr)*-

La comparaison des formules (4) et (6) donne alors

f U(|JLi-(x,j...U(fJL,„-a;„) » * '« '

en supposant ai ^ [i| , . . . , a;„ ^ [i/n . Au contraire, on a

(8) t)a,a,...a„(arï''...a?gr) = o,

sitôt que l'un des indices a est supérieur à l'exposant correspondant [JL.

Soit maintenant ^i, ^O) • • • •• ^m un second système d'indices; formons la dérivée Dp^p^p^ de la fonction (n); il vient, en appliquant une seconde fois les mêmes formules (^) et (8),

îl en résulte, par application de la proposition II, le théorème général suivant :

C'est une généralisation de la formule (8) du § 13; on peut donc former les dérivées d'ordre supérieur en prenant les dérivées des dérivées d'ordre inférieur.

Pour les dérivées premières

nous emploierons aussi la notation plus rapide