CHAPITRE I. — FONCTIONS RATIONNELLES

de même pour les dérivées secondes, nous écrirons

Cette notation peut se généraliser et conduit à une expression correspondant à la formule (4) du § 16.

Mentionnons particulièrement les formules relatives aux formes quadratiques, à cause de l'usage fréquent qu'on en fait.

Posons

(lo) *(ar) = ^aikXiXk\

i et k sont des entiers indépendants l'un de l'autre, pouvant prendre les valeurs o, i , a, . • • , /^i ; de plus, on a

Il vient alors

j,,j ^ i*J-a — «Il Xi -4- aj j 372 -+- . . .-Haim^m,

.En outre

(12) *(a?, \) - ^{\,x) = SÇ/*;, = So^^H.

11 vient alors

La fonction ^(x, Ç) s'appelle \dL polaire de ^; elle est linéaire et homogène, aussi bien par rapport aux variables x que par rapport aux variables Ç. Elle peut se représenter par la formule

(i4) ^(Xy^) = iI.aa^iXky^

et satisfait à la relation

(i5) *(a?,ar) = 2^(ar).

§ 19. — Théorème d'Euler sur les fonctions homogènes.

Les développements précédents permettent de démontrer aisément un théorème fondamental sur les fonctions homogènes, découvert par Euler et dénommé d'après lui.

On le déduit de la formule (4) du paragraphe précédent. Soit t une variable quelconque; posons

employons enfin la formule (i) du § 17, qui définit les fonctions homogènes. Nous trouvons

Développons le premier membre par la formule du binôme, égalons les coefficients des mêmes puissances de t dans les deux membres ; il vient, en donnant à v Tune quelconque des valeurs

la sommation s'étendani à tous les systèmes de valeurs des quantités a, qui vérifient la condition

(4) a, -I- aj-4-. ..-ha;n -— v.

Sous cette forme nous avons le théorème à démontrer dans toute sa généralité.

Pour le cas particulier de v =: i, on trouve la formule

la formule (i5) du paragraphe précédent en est un cas particulier.

Pour le cas de v -^ 2, on trouve

»,* (6) n(n — i)^(XiXi ... x,n) =^^i^k^XiXky

la sommation s'élendant de / =^ i à £ = m, et de A" = i a A" = m ; chaque terme correspondant à des valeurs différentes de i et de Ase présente donc deux fois dans la somme.

Les quantités a étant soumises à la condition (4), posons