CHAPITRE XIY. — APPLICATION DES GROUPES DE PERMUTATIONS

A cette proposition se rattache le théorème deLagrange (') :

2. LorsqvHun élément d^un corps ^ permet les permutations d^ un groupe Q, il est contenu dans le corps û('î'), •j' étant une fonction appartenant à Q.

Une fonction (o, permettant la permutation Q, se transforme en une seule et même fonction par toutes les permutations comprises dans une partie associée Qtci . Aux valeurs conjuguées

correspondent les valeurs

(4) O), tOi, ..., toy i,

qui ne sont pas nécessairement toutes distinctes.

Si l'on soumet ces deux suites de grandeurs à une même permutation de P, elles se permutent d'une certaine manière, la même pour les deux suites; si ^i devient ^2) ^i devient (02 (§161, 5).

Si maintenant on considère l'expression

cette fonction entière, du degré y — i en ^, ne change pas quand on la soumet à une permutation quelconque de P; par suite, elle est contenue dans û. Si Ton y fait ^ = 4, et si l'on remarque que (p(^) n'a que des racines simples, on trouve

ct) s'exprime donc rationnellement en fonction de if\ c'est ce que signifie le théorème 2.

3. Si nous adjoignons à un corps H une fonction A appartenant à Q, le groupe du corps N se réduit à Q.

( ' ) LAGRANaE, Réflexions sur la résolution algébrique des équations {Mémoires de l'Académie de Berlin^ 1770, 1771). — Œuvres, t. III. — Ce théorème a été énoncé par Lagrange sous une forme plus particulière; Ténoncé général est dû à Galois.

586 LIVRE m. — LES GRANDEURS ALGËRRIQDES.

Désignons, en effet, par û' le corps û (<]/). En premier lieu, toute relation (en û') entre a, ai, ... , cLm^^ permet les permutalions de Q, puisque Q est contenu dans P, et que ^ reste invariable pour ces mêmes permutations; en second lieu, toute fonction qui permet les opérations de Q est contenue dans û' (théorème de Lagrange). Ce sont là (§ 156, a, b) les caractéristiques du groupe de Galois dans le corps û'.

Donc, pour réduire le groupe de Galois du degré p au degré çr, il faut adjoindre une racine d'une équation auxiliaire du degré j (enû).

Ce théorème 3 peut aussi s'énoncer de la manière suivante :

' Le corps normal N = û(a, ai, ..., a^-O est un corps de degré p au-dessus de û, et de degré q au-dessus de û':= Û(<J;).

 l'abaissement du groupe correspond, ainsi que cela résulte déjà des théorèmes généraux, une décomposition de la résolvante de Galois.

Soit, comme au § 152, g{t)z= o la résolvante de Galois, p une de ses racines; supposons que les permutations de Q donnent à p les valeurs

(6) p. pi, ..., Çiq-\\

xa étant une des permutations de Q, on aura, d'après la notation du §161,

Si l'on effectue, sur ces quantités, une permutation du groupe Q, elles ne font que se permuter entre elles; leurs fonctions symétriques et, par suite aussi, la fonction

(7) g{t, ^) = (t — p)(t — p,)'"{t-pq-x)

sont contenues dans ^(cp). Simultanément g(^t, ^) est un diviseur de g{t). Si Ton applique à p les substitutions de la partie associée 71/ Q, p se transforme en

(^) Po.li Pl,/î •••> P^-i,*»

Pa,i étant égal à p(^/xa); si Tt/ n'est pas contenu dans Q, les systèmes (6) et (8) sont entièrement distincts. Mais les quantités (8)