CHAPITRE XIV. — APPUGATION DES GROUPES DE PERMUTATIONS

ne font aussi que se permuter entre elles, lorsqu'on efiectue sur elles une substitution du groupe Q; en effet, x étant une permutation de Q, on a 7t/Qx= ir/Q. D'après cela, la fonction

(9) gi{^^ '}') = ('- Po,/)(^— pi,/). . .(<-- Pî-1,/)

est contenue dans C2(^); l'adjonction de if permet de décomposer g{t) en y facteurs :

On peut effectuer cette décomposition d'une seconde manière; elle fournit des facteurs contenus, non seulement dans û(({^),mais aussi dans les corps conjugués

Posons, en effet,

p'>4,/=pA(7t/);

la permutation tti*, appliquée aux quantités (6), les transforme en

l'ensemble de ces quantités ne change pas par l'emploi des permutations du groupe u^* Qtc/. Posons, comme précédemment

P = Q-f.Q7r,-t-Qitj-h...-hQity i;

la permutation tc/ transforme i/ en ifij et l'équation (7) donne

(12) ^(^ '}'/) = (<-pi.i)(^-p;,/)...(^~p;,-i,/).

C'est encore un diviseur de ^(^). Comme, d'ailleurs, deux suites de quantités, telles que (i i), sont entièrement identiques ou n'ont aucun élément commun, deux quelconques des fonctions ^(/, i/t) n'ont pas de diviseur commun. Il en résulte la décomposition

elle diffère, en général, de la décomposition (10). L'identité n'a lieu que lorsqu'à chaque permutation u du groupe P on peut faire correspondre une permutation ir', lelle que

ttQ = Qtt'.

Si Q et Q' sont deux diviseurs différents du groupe P, ils auront certaines permutations communes, parmi lesquelles se trouve toujours la permutation identique. Si cette dernière est la seule commune, ces deux groupes sont dits premiers entre eux.

S'il y a d'autres éléments communs, l'ensemble R de toutes ces permutations communes s'appelle le plus grand commun dmseur ou r intersection (Durchschnilt) de Q et Q' (*). Cette intersection est toujours un groupe; si, en effet, iti etTîj sont deux permutations appartenant à Q et Q', it|'n2 figure aussi dans Q et Q', et, par suite, dans R. On généralise facilement cette idée pour plusieurs groupes Q, Q', Q'', ....

Soit i( une fonction appartenant à Q et <j;' une fonction appartenant à Q'; on sait déterminer (§ 150, 1) deux nombres rationnels X et x' ^ tels que

soit une fonction appartenant à R. (o permet évidemment les permutations de R, puisqu'il en est ainsi de ^ et i/'. Soit alors r, une permutation de P non contenue dans R; on ne pourra avoir à la fois

^ = ^{'r:) et f=4;'(^);

on pourra donc choisir :r et a/ de façon qu'on n'ait pas

Si nous adjoignons donc simultanément A et <j;', par suite aussi (0, le groupe du corps N se réduit à R (théorème 3).

On peut démontrer une proposition analogue pour le cas de plus de deux groupes, et dire :

4. Soient Q, Q', Q", . . . des diviseurs de P, R leur intersection; if^ 4', i/' y . . . des fonctions appartenant respectivement à Q, Q', Q", ... ; l^ adjonction simultanée de <|/, 4', ^"j • • • réduit le groupe du corps N à R.

Au lieu d'adjoindre la racine A de l'équation auxiliaire, adjoi-

(•) Cette dénomination plus courte, in^er^ec^M)/!^ au lieu de plus grand corn' mun diviseur, a été proposée par Study.