CHAPITRE XIY. — APPLICATION DBS GROUPES DE PERMUTAT10i\S
gnons Tensemble des grandeurs conjuguées
du corps û; on en déduit ainsi le corps
le théorème précédent montre que le groupe de N en û'^ est le plus grand commun diviseur R de tous les groupes conjugués de Q; donc (§ 161) R est le plus grand commun diviseur de tous les groupes u""* Qir, ir étant l'une quelconque des permutations de P.
Un cas particulier intéressant est celui oà tous les groupes conjugués Tî""* Q-rt sont identiques. D'après le théorème 2, chacune des quantités conjuguées 4^, ^i, • • • , ^y-i est contenue dans û(<]/); les corps û(^),û(it|), . . ., û(tj^y,) sont identiques, etû(tj^) est un corps normal supérieur à û. Dans ce cas les décompositions (lo) et (i3) sont identiques.
Tout diviseur Q du groupe P qui possède cette propriété s'appelle un diviseur normal de û ( * ).
Lorsque Q est un diviseur normal, l'adjonction d'une seule racine ^ de l'équation auxiliaire équivaut à l'adjonction de toutes les racines.
5. SiQn'estpas un diviseur normal, le plus grand commun diviseur R de tous les groupes conjugués tc"* Qtc est certainement normal.
Soit, en effet, x une permutation de R, contenue, par suite, dans tous les groupes iî"* Qtî; il en sera de même de ti^^xti^ donc Tt"* Rit est un diviseur de R; comme il est de même degré que R, il lui est donc identique.
Un groupe qui n'admet d'autre diviseur normal que lui-même et le groupe identique s'appelle un groupe simple. L'intersection de tous les groupes conjugués d'un groupe simple est le groupe lui-même ou bien le groupe identique, suivant que ce groupe simple est ou n'est pas un diviseur normal de P.
(') Galois parle de la décomposition propre d'un groupe; d'où l'expression eu usage diviseur propre; des auteurs plus modernes désignent le diviseur normal par le nom de sous-groupe particulier ou invariant*
5go LIVRE ni. — les gràndeubs algébriques.
Q étant un diviseur normal de P, et R un diviseur normal de Q, R est, à la vérité, diviseur de P, mais n'est pas toujours un diviseur normal de P. Par contre, si R est un diviseur normal de P, R est aussi diviseur normal de tout diviseur Q de P qu'il divise.
§ 163. — Groupe de la résolvante.
L'équation auxiliaire ^(^)= o, dont dépend la détermination de la fonction ^, devient la résolvante de Galois, lorsque le diviseur Q, auquel appartient ^, est le groupe identique. En eSet, d'après le théorèmede La grange(§162, 2) toute fonclionducorpsN, et par suite aussi toute racine a, peut être exprimée rationnellement en fonction de <j/; N est donc identique à û(^).
Nous désignerons ces équations ç(f) = o, dans un sens très général, sous le nom de résolvantes. Il faut ici distinguer deux cas.
1. Si les groupes conjugués tc~* Qtc sont premiers entre eux, l'adjonction simultanée de toutes les racines de (f(t) = o est équivalente (§ 162, 4) à l'adjonction d'une fonction appartenant au groupe unité; la résolution de l'équation donnée est ramenée à la résolution complète de la résolvante. On a
une résolvante de Galois de l'équation ç(^) = o est en même temps une résolvante de Galois de l'équation primitive. Dans ce cas, nous dirons que (f{t) = o est une résolvante /o^afe de l'équation donnée.
2. Si les groupes conjugués -rt""* Qtt ont un diviseur R, de degré r, différent du groupe unité, ce diviseur est un diviseur normal de P; l'adjonction simultanée de toutes les quantités conjuguées de i/ est équivalente à l'adjonction d'une grandeur appartenant à R. La résolvante de Galois de l'équation donnée n'est pas entièrement résolue par celte adjonction; elle est simplement décomposée en facteurs de degré r. L'équation (p(/)=o est dite, dans ce cas, une résolvante partielle.
Lorsque P est un groupe simple, il n'existe que des résolvantes
