CHAPITRE XIY. — APPLICATION DES GROUPES DE PERMUTATIONS

totales; lorsque P admet des diviseurs normaux, il correspond à chacun de ces diviseurs une résolvante partielle.

La même distinction se présente encore, lorsqu'on examine le groupe de Galois de la résolvante ^{t). Ce groupe est composé de toutes les permutations qui se produisent dans la suite des quantités

quand on y effectue toutes les opérations tz de P. En effet, toute équation (en û) entre les quantités (i), reste exacte quand on y fait une de ces permutations, puisqu'on peut faire l'opération tt sur une telle équation; réciproquement, si une fonction (enû) de toutes les quantités (i) permet toutes ces opérations, elle permet aussi toutes les permutations n; c'est donc un élément de Q.

Reste à déterminer le degré de ce groupe. Parmi toutes les opérations de P, les seules qui ne produisent aucun changement parmi toutes les quantités (i), sont celles qui appartiennent à la fois aux groupes TZ"* Qic de toutes ces fonctions, par suite aussi à leur plus grand commun diviseur R. Désignons par o* les opérations de R. Si ic et Tc' sont deux opérations produisant la même permutation des quantités (i), l'opération it'tc""* rétablira Tordre primitif de ces grandeurs; ce sera donc une des opérations <t] donc

D'où ce résultat :

Les permutations de la partie associée Rit, et elles seulement, produisent une seule et même permutation des quantités (i).

Le degré du groupe de Galois de la résolvante cp(/) = o est égal au nombre de ces parties associées; il est donc égal au quotient — > c'esl-à-dire à l'indice du diviseur R de P. r

Supposons que R soit le groupe identique; on aura r = i; <p (^) = o est une résolvante totale; le degré de son groupe est égal à celui du groupe de l'équation primitive ; de plus, ces deux groupes sont isomorphes. On ne gagne donc rien en ce qui concerne le groupe. L'équation proposée est équivalente à la résolvante, quelle que soit d'ailleurs la différence de leurs degrés.

Si, d'autre part, Q est un diviseur normal, donc R identique

592 LIVRE III. — LES GRANDEURS ALtiÉRRIQUES.

à Q, çp(^) = o est une résolvanle partielle et le degré de son groupe est égal à Tindice j du diviseur Q de P. Par l'adjonction d'une racine de la résolvante, le groupe de l'équation primitive se réduit au groupe Q, de degré q. Le groupe s'est donc décomposé.

Lorsqu'on veut former des résolvantes de degré aussi peu élevé que possible^ il faut chercher des diviseurs de P du plus petit indice possible, donc de degré aussi élevé que possible; mais si l'on veut produire en même temps une réduction du groupe, il faut que le diviseur soit normal.

§ 164. — Rédaction du groupe de Galois par radjonction

d'irrationnalités quelconques.

Le problème de la résolution d'une équation algébrique est remplacé, au point de vue de Galois, par un autre qui consiste à produire une décomposition de la résolvante, par suite un abaissement du degré du groupe, au moyen de l'adjonction de quantités algébriques aussi simples que possible.

Nous poserons la question de la façon suivante. Dans le corps donné û, la résolvante de Galois gl^l) est irréductible. Il s^agit de remplacer le corps Q par un corps plus étendu Ql de manière que g{^i) devienne réductible, û' doit être un corps algébrique supérieur à û; il doit donc exister une grandeur algébrique s, telle que û':=û(e). Celle quantité e sera racine d'une certaine équation irréductible (en û) que nous désignerons par

Supposons que, dans le corps û(e), g{^i) admette le facteur irréductible

dont une racine est égale à p. Soit q le degré de ce facteur; (3) p, pi, ..., py-

ses racines, de telle sorte qu'on a

(4) ^l^^ t) = {t-^){t - pi). . .(« - pç-i).