CHAPITRE XIY. — APPLICATION DBS GROUPES DE PERMUTATIONS
Il s'agil d'abord de montrer que les substitutions
(p»p)> (p»Pi)» (p»pO» •••, (p»pç-i).
contenues dans le groupe P, forment elles-mêmes un groupe Q. Pour y parvenir, posons comme précédemment (§ 153)
Téquation
et Téquation g^ (t) = o ont la racine commune p ; donc, puisque g\(t) est irréductible, la fonction ^« [6|(/), e] est divisible par ^i(^). Si donc Pi et p2 sont deux des racines (3), la quantité
Ql(?î)= p3
sera aussi une de ces racines. Mais la substitution (p, ps) peut être considérée comme composée de (p, pi)et(p, P2); il en résulte bien que ces substitutions forment un groupe Q. Soit y l'indice de Q; posons
Le produit (4) permet les substitutions du groupe Q; si donc ^ est une fonction (en N) appartenant à ce groupe (§ 162, 2), on sait que la fonction g^i^^^) s'exprime rationnellement en fonction de A; ^i('î e) est donc une fonction de t dans le corps Û(A) de degré j'y nous la désignerons alors par g{t,^).
6 est une des racines d'une équation irréductible de degré j
admettant comme autres racines tj^^, '^2, ..., ^j-i] il résulte du § 162, (i3) que g(t) est décomposable :
(7) ^(0 = ^(^'î')^(^'l'i).-.^(^'l'y-i)- Mais
la formule (7) montre que cette équation ne subsiste pas, lorsqu'on remplace dans le premier membre ^ par une autre racine de l'équation (6). On peut donc mettre à la place de t une valeur
rationnelle telle que Féqualion
n*ait avec Téquation (6) qu'une seule racine commune m = A. Le plus grand commun diviseur de (8) et (6) sera alors linéaire en u ; si l'on y fait u = ^, on voit que A s"* exprime rationnellement en Jonction rfe e; le corps 0^{\) est donc certainement un diviseur de û(e). Le degré du. corps ^(e), c'est-à-dire celui de l'équation auxiliaire x(^) ^^ ^ ^^^ donc un muliple de j et n^est jamais inférieur à y. Lorsque le degré de l'équation auxiliaire est égal à j\ ce qui se présente toujours lorsque le degré de y^ est un nombre premier, 0(e) est identique à û(6); par conséquent, s peut aussi s'exprimer rationnellement en fonction de 4. Dans ce cas, les quantités conjuguées e, £|, ..., e/i sont les racines de y=o; pour les obtenir, il suffit d'exprimer s rationnellement en fonction de i, et de remplacer, dans celte expression, A par les différentes fonctions conjuguées i, 6|, . . ., àj^x- On peut donc prendre t luimême pour 'i; on trouve ainsi la décomposition
Les grandeurs s, £|, . . . , £y i appartiennent toutes au corps Û(p).
Ces résultats sont de la plus grande importance et méritent d'être signalés d'une façon toute particulière.
F(i:) = o désignant Téquation donnée, N le corps de Galois correspondant, les éléments N s'appellent, d'après Kronecker, les irrationalités naturelles de V équation F (a:) = o.
On peut alors énoncer la proposition suivante :
Toute réduction possible du groupe de Galois est produite par V adjonction d^ une irrationalité naturelle. En désignant par j V indice du groupe réduit par rapport au groupe primitif , la réduction ne peut se produire par l* ad jonction d' un corps de degré inférieur à j. Le degré peut être égal à j ; dans ce cas l'irrationalité adjointe est naturelle. Si le degré du corps adjoint est supérieur à y, ce degré est un multiple de j.
