CHAPITRE XIV. — APPLICATION DES GROUPES DE PERMUTATIONS

§ 165. — Groupes imprimitifs.

Appliquons nos théorèmes généraux à des groupes de nature particulière, et d'abord aux groupes imprimitifs.

Nous avons vu (§ 158) que si /(^) = o est une équation irréductible, de degré n, à groupe impriinitîf, le nombre n peut être décomposé en deux facteurs r et s^ tels que les racines se décomposent en s groupes de r termes

(A) a, ai, ..., «/•- 1»

^,^ ; (B) P, Pl Pr-l,

(S) cr, (Ji, ..., <Jr-i î

les permutations du groupe P permutent ces éléments entre eux, sans séparer les éléments d'une même série, en permutant les séries entre elles.

Parmi les permutations du groupe de Galois P de f{x)^ considérons celles qui laissent les séries A, B, . . . , S à leurs places respectives, et ne produisent que la permutation des indices dans chaque ligne; soitQ leur ensemble. Ces permutations forment un groupe; car, en les composant entre elles, les lignes A, B, . . ., S conservent leur rang. Ce groupe Q est un diviseur normal de P.

Soient, en effet, x et i: deux permutations, appartenant Tune à Q, l'autre à P; la permutation composée if^x?: appartient encore à Q; car la permutation produite par it"* n'est pas altérée par X, mais est détruite par t. Le groupe Q est intransitif; quand on fait l'adjonction d'une fonction i^ appartenant à Q, non seulement la résolvante de Galois devient réductible, mais la fonction f{x) elle-même se décompose en s facteurs du degré r

L'équation /«(a:, <{;) = o admet pour racines les nombres a; le groupe de Galois de cette équation est formé par toutes les permutations que produit le groupe Q parmi les racines a.

En désignant par y l'indice du diviseur Q de P, la quantité '}

5g6 LIVRE III. — LES GRANDEURS ALGÉBRIQUES.

est racine d'une résolvante partielle de degré y",

c'est une équation normale et, par conséquent^ sa propre résolvante de Galois (§ 162). Soient

ses racines; le groupe de Galois de cette résolvante se compose des substitutions

(4) (^>H (^^h)^ .-., (^^h-ih produites par les permutations des parties associées

(5) Q, QîT,, ..., Qity i.

Chacune de ces parties associées produit une certaine permutation des lignes Â, B, . . ., S. Toutes ces permutations sont distinctes; si^ en effet, iz^ et tz2 produisent la même permutation des lignes, la permutation ita'^^V* appartient à Q; Qir, et Qic^ ne sont pas des parties associées distinctes. Le groupe des permutations de la résolvante partielle ^(/^) := o est donc isomorphe avec le groupe des permutations produites par Psur les lignes A,

MJy • • • , O*

Si Ton appelle Qa l'ensemble des permutations de P, qui ne déplacent pas la ligne A, cet ensemble Q» forme certainement un groupe : si icp est une permutation transformant A en B ( permutation qui doit exister dans Pen vertu delà transitivité supposée), Qotitp est une partie associée à Qa qui transforme A en B. L'ensemble irp^Qa^p = Qp est un groupe conjugué à Qa\ c'est celui dont les permutations ne déplacent pas la ligne B. On obtient de cette manière les groupes conjugués

admettant comme plus grand commun diviseur le groupe Q d'indice /.

Une fonction j^a appartenant à Qa est racine d'une équation de degré s (en Û), f (y) = o; les autres racines y^, ..., y^, se déduisent de j^a pai* l'emploi des permutations des parties associées