CHAPITRE XIY. — APPLICATION DBS GROUPES DE PERMUTATIONS. 5gj

QaTip, . . . , Qa''î(T- L*équalion /(w) ==Oi àe degré y, précédemment trouvée, est la résolvaDle de Galols de l'équation ^(y) = o. Nous avons remarqué ci-dessus que le groupe de l'équation y(^u)= O, de degré y, est isomorphe au groupe des permutations produites par P entre les lignes A, B, . . . , S. Par suite de la transi tivi té de P, ces systèmes se permutent transitivement les uns dans les autres; par suite (§ 161, 7) y est divisible par s; dans le cas particulier où j est un nombre premier, j est égal à 5.

L'adjonction simultanée de toutes les racines de <f(y) produit le même effet que l'adjonction de la fonction ^] elle réduit le groupe P de l'équation /(.r) = o au groupe Q.

L'adjonction de ^ot permet de séparer de /{^) un facteur rationnel y(^î ^a)> admettant pour racines les quantités A; par l'adjonction des autres quantités y, on obtient la décomposition

ces fonctions ne sont autres que les facteurs

de la décomposition (2).

Remarquons encore ici que f{x^ y^^) est irréductible dans le corps û(j^a)- En effet, /(^) étant supposé irréductible, il existe dans P des permutations qui transforment a en chacune des racines a/ et ces permutations appartiennent à Q^. Si donc une fonction rationnelle «p(^,^a) s'annule pour x = (i^ chacune des quantités f (a/j^a) devra être nulle; donc ^{oc^y^) devra être divisible par f{cc, ya)' H ne résulte pourtant pas de là que fi^^ya) =/a(^7 ^) est aussi irréductible dans le corps û(4).

Nous retrouvons ainsi les théorèmes du § 158. Nous avons montré en cet endroit que l'on peut choisir pourra une fonction de a seulement; nous n*y reviendrons pas.

Il est intéressant d'examiner de près les relations entre les groupes de Galois des différents facteurs

On a déjà vu qu'on obtient le groupe dey(a:,;^a) dans le corps Û(d;), en cherchant toutes les permutations des quantités a pro-

duites par Q. Désignons ce groupe par ?« et les autres groupes analogues par Pp, ...,P<y.

Prenons dans P les s — i permutations irp, ..., tz^^ telles que Tzp transforme A en B, . . ., u<y transforme A en S; pour plus de simplicité, supposons p. . .a- choisis de telle manière que t:^ — t:^. produisent les échanges suivants

/ao, «i, . . . , «/.-jN ^^^ /«o, «lî • • .» «/— 1\

hypothèse évidemment permise.

Soit X un élément de Q, produisant parmi les racines a la permutation

on aura

permutation contenue aussi dans Q; xp produira parmi les racines p la permutation

\ Rrto» rfli> •••» r«r-i/

xp produit donc parmi les indices des ^ la même permutation que X parmi ceux des a. Supposons données (P) et une permutation correspondante xp; la permutation Ttpxpir^' est égale à x; il en résulte que les permutations des P, produites par Q, sont iden* tiques à celles des a. La même conclusion subsiste pour les autres lignes; il en résulte le théorème si)ivant :

1. Etant donnée une équation irréductible imprimitive y on peut choisir la notation des racines dans les différentes lignes de telle sorte que les équations partielles

admettent dans le corps û(tj^) le même groupe.

Si l'on ne veut pas choisir la notation des racines de la façon indiquée, les groupes seront au moins isomorphes.

Posons enfin cette question, à laquelle répond en un certain sens la réciproque du théorème précédent :