CHAPITRE XIV. — APPLICATION DES GROUPES DE PERMUTATIONS

Dans quel cas un groupe transitif admet-il un diviseur normal intransitif?

Soil P un groupe de permutations transitif, et Q un diviseur normal inlransitif de ce groupe ; soit

(A) a, «1, ..., tr-x

un système tel que ses éléments ne s*échangent qu'enlre eux par les permutations de Q ; nous supposerons de plus que ces éléments sont liés transitivement par Q, c'est-à-dire que toute racine a peut être transformée en une autre par une permutation deQ.

Si un élément tt de P transforme les grandeurs A en

(B) P, pH ..., Pr-l,

OU bien les éléments (B) sont identiques aux éléments A^ ou bien ils en sont tous distincts; car le groupe tc'^Qtî, qui, par hypothèse, est identique à Q, ne fait que permuter entre eux les éléments (B), et cela transitivement comme les éléments (A). Si donc dans (B) on ne retrouvait qu'une partie des éléments (A), les permutations Q n'échangeraient pas ces éléments avec les autres du système (A), ce qui est contraire à l'hypothèse.

Si donc A ne contient pas tous les éléments auxquels s'étendent les permutations P, il existera, par suite de la transitivité de P, une permutation k qui transforme A en un système B, entièrement distinct de A. x étant une permutation de Q, la permutation T:~*x7t, appartenant également à Q, produira sur les indices des ^ la même permutation que x sur les indices des a. Il en résulte que les permutations Q ne font que permuter les ^ entre eux.

Si A et B ne contiennent pas tous les éléments, on peut former de la même façon un troisième système C, qui se déduit de A par la permutation ir^ de B par la permutation 7r~*7î', et qui n'a aucun élément commun avec A et B. On continue ainsi jusqu'à ce que tous les éléments soient employés, et l'on est ainsi conduit à la proposition suivante :

2. Un groupe transitif ne peut admettre un diviseur normal intransitif différent du groupe identique, que si le groupe donné est imprimitif. Les systèmes dUntransitivité du di-

çtseur normal sont des systèmes d* imprimitivité du groupe donné.

Ayant égard au théorème 1, on peut aussi énoncer le théorème 2 de la manière suivante :

3. LorsqiC une équation irréductible f{x) = o déifient réductible par l'adjonction de toutes les racines d^une résolvante ou d^une seule racine d^une équation normale de degré j\ cette équation se décompose en plusieurs facteurs irréductibles de même degré ,et de même groupe. Le nombre de ces facteurs est un diviseur du degré j\ il est égala j ^ dans le cas oùj est un nombre premier.

Si donc une équation irréductible primitive est réduite par l'adjonction des racines d^une résolvante, elle se décompose en facteurs linéaires; elle est donc entièrement résolue. Ce cas se présente toujours, lorsque le degré de/(^) = o est un nombre premier; car une telle équation ne peut être imprimitive.