ÉQUATIONS CYCLIQUES

§ 166. — Équations du troisième degré.

Occupons-nous maintenant de la résolution de Téquation du troisième et du quatrième degré, en nous plaçant au nouveau point de vue où nous sommes arrivés.

Le groupe des permutations de trois nombres se compose de six éléments, la permutation identique i , deux cycles à trois termes et trois transpositions :

Les trois premières

forment le groupe alternant; il se compose de puissances de la permutation cyclique ir = (o, 1,2), savoir

(2) 7rO=i, TT, ir«,

et s'appelle pour cette raison le groupe cyclique.

Soient maintenant a, ai , a^j les trois racines de Téquation du troisième degré

(3) f{x) = x*—ax^'hbx — c = o.

Prenons pour base le corps û composé de toutes les fonctions rationnelles des variables indépendantes a, by c] le groupe (i) est

6o2 LIVRE III. — LES GRANDEURS ALGÉBRIQUES.

alors le groupe de cette équation ; mais si nous adjoignons à û la quantité

(4) ' /D = (a — a,)va — a2)(a,— a,), D désignant le discriminant

(5) D = aî6»-M8a6c — 4a>c — 46»— 27c»,

le groupe se réduit à (2).

Dans le corps Q!, déduit deû par cette adjonction, chaque racine peut être exprimée rationnellement en fonction d'une racine quelconque; on a, en effet

a,-f- ai= a — a,

d'où

et dans ces formules, on peut faire les permutations iz eti;*. Donc,

après l'adjonction de y/D, l'équation du troisième degré est sa propre résolvante de Galois.

Les conclusions précédentes subsistent, lorsque le domaine de

rationalité est un corps particulier contenant a, b, c et y/D, à moins que /{x) ne soit réductible en û, c'est-à-dire possède une racine rationnelle. En effet, le groupe (1) ne possède, à l'exception de lui-même et du groupe cyclique (2), que des diviseurs intransitifs, savoir le groupe unité et les trois groupes du type i {12).

Veut-on résoudre l'équation du troisième degré, c'est-à-dire la ramener à une équation binôme, on devra chercher une fonction r des racines, dont le cube permette la permutation cyclique ir. Une telle fonction ne peut exister que si l'on adjoint au corps Û les racines cubiques de l'unité, ou, ce qui revient au même, la quantité y/ — 3; il faut en eff*et que t^, par l'emploi de tc, contienne une racine cubique de l'unité en facteur.

Cette adjonction ne peut produire une réduction du groupe; le groupe (2) n'admet en effet d'autre diviseur que le groupe unité.