CHAPITRE XV. — ÉQUATIONS CYCLIQUES. 6o
el la réduction au groupe unité ne peut se faire par une équation du second degré, mais seulement par une équation du troisième degré (§ 164). Posons donc
et
L'opération t: a pour effet de charger (^ en £^r, p' en e(^', tandis
que t'', r", vt' restent invariables et sont par suite contenus dans
le corps û'. On calcule aisément ces quantités. Posons pour
abréger
A = a* ai H- a J «j -f- a J a,
B = aja-+-a*ai-^a*aj;
on en déduit
et; par suite,
i;3 = a'-+-aj-t-a» -h 6aaia,-f- SeA -+- 3 s* A', c'est-à-dire
et de même
(8) i^»=a'— 2a^»-h^c-+- -/ZrjD,
(9) i;'5=aî— iîa^H- :î^ c— - /=TD.
D'autre part, on a
(10) i'p'sr a--i- aj -h aj — axj — aiatj— a2a = a* — 36;
des équations (8), (9), (10) on déduit la formule, déjà trouvée précédemment [§ 52, (8)]
— (p» — p'»)» = 27D = 4(a«— 36)3— (aa» — 9^6-1- 270)*. Si l'on joint aux formules (7) l'équalion
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on trouve, comme pour la formule de Cardan,
3 a, = a H- e'p -4- sf', 3aj=a-hÊt» -hz^v'.
§ 167. — Oroupes de permutations de quatre éléments.
Les équations du quatrième degré constituent une excellente application de la théorie de Galois ; les choses s'y présentent si simplement, qu'il est aisé d'en acquérir une vue d'ensemble, et que néanmoins les phénomènes les plus importants de la formation des groupes se mettent en lumière.
Les quatre nombres o, i, 2, 3 donnent lieu à 24 permutations; ce nombre représente le degré du groupe de Galois de l'équation générale du quatrième degré, dans le corps formé avec les fonctions rationnelles des coefficients (voir la conclusion du § 156). Nous représentons ces permutations à l'aide de leurs décompositions en cycles, le nombre i représentant la permutation identique :
Le groupe P contient donc, outre la permutation identique, six transpositions, huit cycles à trois termes, six cycles à quatre termes et trois permutations de la forme(o, i)(2,3) que nous appellerons couples de transpositions.
P contient le groupe alternant de degré 12 comme diviseur normal. Ce groupe ne peut contenir ni transpositions, ni permutations cycliques à quatre termes; c'est donc
