CHAPITRE I. — FONCTIOXS RATIONNELLES

on en conclut, diaprés la formule (4) du § 18,

(8) 4»(a7-4-Ç) = *(a7)-4-*i(a7,0-^*2(^,$)-^...H-*ï>/i(ar,$);

le premier membre ne change pas, quand on y permute x avec \\ on a donc la relation

et, en particulier,

La fonction 4>v(:c, Ç), considérée comme fonction de x^ s'appelle la V**"* polaire de 4> par rapport aux variables \,

Particularisons encore la formule (3) pour le cas d'une forme binaire (m = 2). Remplaçons les variables par x et^, et posons, pour abréger,

la formule (4) donne alors

dans cette formule, v peut prendre une valeur quelconque inférieure à n.

§ 20. — Fonctions réductibles et irréductibles.

Le produit de deux fonctions entières est lui-même une fonction entière; si les deux facteurs sont différents de zéro, il en est de même de leur produit (§2), son degré est égal à la somme des degrés des deux fadeurs. C'est évident, en particulier, lorsque les deux facteurs, et par suite aussi leur produit, sont des fonctions homogènes; c'est ensuite une conséquence de ce fait que toule fonction non homogène peut être considérée comme une somme de fonctions homogènes de degrés différents; le plus élevé de ces degrés est celui de la fonction.

Il s'agit maintenaut de distinguer, parmi les fonctions entières, celles qui peuvent se mettre sous forme d'un produit de plu-

sieurs fonctions entières, dont aucune ne soit de degré zéro, c'est-à-dire constante, et celles pour lesquelles cette décomposition est impossible. Les premières sont dites réductibles , les secondes irréductibles.

Lorsqu'une fonction entière esl réductible, le degré de chaque facteur est inférieur à celui de la fonction.

Une fonction linéaire est toujours irréductible, et toute fonction entière ne peut être décomposée qiCen un nombre fini de fonctions irréductibles.

On dit qu'une fonction entière W est divisible par une autre fonction entière (v, lorsqu'il existe une fonction entière w' (qui peut d'ailleurs se réduire à une constante), telle que Ton ait

II en résulte que, si U est une fonction divisible par w et V une fonction entière arbitraire, le produit UV est aussi divisible par w\ si U, U', U", . . . sont des fonctions entières divisibles par w, et si V, V, V, . . . sont d'autres fonctions entières arbitraires, la somme UV-j- U'V'-f- U'' V -h ... est aussi divisible par w.

Lorsque W est divisible par w^, on dit aussi que (v est un diviseur de W.

Deux fonctions rationnelles et entières U et V, qui ne sont pas divisibles par une même fonction rationnelle et entière , sont dites premières entre elles ou sans diviseur commun,

L Soient U, V, ç> des fonctions entières de variables quelconques; si la fonction v divise le produit UV et si elle est première avecVj elle divise V.

Ce théorème correspond exactement à la proposition bien connue tirée de la théorie des nombres entiers : lorsqu'un nombre divise un produit de deux facteurs et qu'il est premier avec l'un d'eux, il divise l'autre.

Il se démontre de proche en proche. Si les fonctions U, V, v ne dépendent que d'une seule variable, le théorème est exact; car, d'après le théorème I du § 6, on sait alors déterminer deux autres fonctions P et/?, entières en x, telles que

PU -hpv = i;