CHAPITRE XV. — ÉQUATIONS CYCLIQUES. 6o

Cherchons maintenanl tous les diviseurs du groupe P. Nous laisserons de côté les groupes intransitifs, qui ne peuvent se composer que de trois ou de six permutations de trois éléments, ou des permutations de deux couples de deux éléments. Nous ne chercherons donc que les diviseurs transitifs. En outre, nous ne chercherons qu'un seul diviseur de tout système conjugué, puisque les autres peuvent s'en déduire par la permutation des indices

Cette recherche se simplifie par l'emploi des deux théorèmes suivants :

1. LorsqiCun groupe transitif de permutations de quatre nombres contient un cycle à trois termes, il se confond avec le groupe symétrique ou le groupe alternant.

2. Si ce groupe contient deux transpositions ayant un élément commun, c'est le groupe symétrique.

Supposons en effet qu'un groupe contienne le cjcle (o, 1,2) et que ce groupe soit en outre transitif; il contiendra une permutation îî qui transforme o en 3. Dans le cycle à trois termes ^^""^(o, 1 ,2)71, il y aura certainement le nombre 3; ce sera, par exemple, (o , i , 3) ; d'après cela le groupe contient aussi les permutations

Ce groupe contient donc tous les cycles à trois termes; il contient donc aussi toutes les permutations du groupe alternant (§ 160); c'est donc ce dernier groupe, à moins qu'il ne contienne une permutation de seconde espèce, et c'est alors le groupe symétrique.

Lorsqu'un groupe transitif contient les deux transpositions (o, 1), (o, 2), il contient aussi

6o6 LIVRE III. — LES GRANDEURS ALGÉBRIQUES.

et par conséquent tout le groupe alternant; comme ii conllenl d'ailleurs une transposition, c'est donc le groupe svmétrique.

Si maintenant un groupe différent de P et de Q contient une transposition (o, 2), il contiendra aussi (1, 3) puisqu'il est transitif; par suite, il contient tout le groupe transitif du quatrième ordre

Le groupe devant être transitif, il doit s'y trouver d'autres permutations. Ces dernières ne peuvent se trouver que parmi les cycles à quatre termes ou les couples de transpositions. On ne peut avoir un cycle à quatre termes dans lequel o et i se suivraient cycliquement; en effet, combiné avec (o, 1), il donnerait un cycle à trois termes tel que

De même 2 et 3 ne peuvent se suivre cycliquement; il ne reste donc que les opérations

Lorsqu'on joint une de ces permutations à la suite (3), il faut y joindre aussi toutes les autres; on a, en effet,

à l'aide des transpositions (o, i)et(2,3) on peut donc déd ni i*e chacune des permutations (4) de l'une quelconque d'entre elles. Par conséquent, l'hypothèse de l'existence d'une transposition dans un groupe transitif différent de Pet de Q montre que ce groupe doit être identique au groupe du huitième degré

(5) (PO I, (0,1), (2,3), (0,2)(l,3), (0,I)(2,3), (0,3)(l,2),

ou du moins à un de ses groupes conjugués.

On reconnaît aisément que P| est un groupe, en composant deux quelconques de ses permutations.