CHAPITRE XV. — ÉQUATIONS CYCLIQUES

Il existe trois groupes différents conjugués de P| ; on les obtient en partant des transpositions (o, 2), (i , 3) ou (o, 3), (i , 2) au lieu de (o, i), (2, 3). L'intersection de ces trois groupes est un diviseur normal de P et de Q, savoir

Lorsqu'un groupe transitif, différent de P et de Q, ne contient pas de transposition, deux cas sont possibles : ou bien il ne contient pas de cj'cles à quatre termes; dans ce cas il est identique au groupe (6); ou bien il contient un cycle à quatre termes, et contient par suite tout le groupe cyclique ; tel le groupe

(7) (Pi) ï. (0,1,2,3;, (0,2) (1,3), (0,3,2,1).

Si un groupe de cette espèce contient encore un second cycle à quatre termes, par exemple (o, i, 3, 2), il est identique au groupe symétrique par suite de l'égalité

Si, enfîn, outre P^, il contient encore une des permutations (6), par exemple (o, i) (2, 3), il est identique à P|, par suite de l'égalité

P.j donne également naissance à trois groupes conjugués, n'ayant pas d'autre diviseur commun que i . Donc :

Il n'existe pas d^autres groupes de permutations transitifs de quatre éléments que P, Q, P|, Q^, Pj et les diviseurs de P, conjugués de Pi et P2.

Parmi les groupes intransitifs, il y a lieu de mentionner le groupe

qui donne également naissance à un système de trois groupes conjugués. En outre, il n'existe de groupes transitifs que les groupes de permutations ne contenant que deux ou trois éléments.

6o8 LIVRE III. — LES GRANDEURS ALGÉBRIQUES.

§ 168. — Résolution des équations du quatrième degré.

Les différentes méthodes de résolution de l'équation du quatrième degré se distinguent les unes des autres par Tordre dans lequel on utilise les diviseurs du groupe P.

Soient a, a,, a^, as les racines de Téquation du quatrième degré

(i) /{x) = x^ — aix^-^ OtX^ — a^x -^ a^ = o;

soit D son discriminant; posons

Rappelons encore les expressions des invariants (§ 70)

(3) X = a\ — 3 ai «3 -h 12 a^,

(4) B = aja^a^-H ijrtj -f- 2aj — 72 a» «4 — Q^i^s^s;

elles donnent pour D

En adjoignant d'abord \/D^ le groupe de Téquation se réduit à Q; si l'on cherche de plus une fonction appartenant à Qf, elle permet de réduire le groupe àQ|. Comme Qi possède à Tinté rieur de Q l'indice 3, une telle fonction dépendra d'une équation du troisième degré; Qi étant un diviseur normal, cette équation sera aussi normale. Prenons, par exemple, la fonction

(G) ^= (a — ai) (a.— «3)

appartenant à Qi ; les deux quantités conjuguées sont

( Ji = (« — as) («!--««)•

Ces trois quantités sont racines d'une résolvante partielle du troisième degré, dont il est facile de former les coefficients comme invariants de /(voir § 70, 71, où les quantités^, j^i, ^2 étaient désignées par U, V, W). Cette équation est

(8) jS A^H-V^D=to.